Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu $\overrightarrow{u}$ ≠ 0 và giá của $\overrightarrow{u}$ song song (hoặc trùng) với d (Hình 25).
Nhận xét:
• Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của d thì ${\color{Blue}k\overrightarrow{u}}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của d.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M0(x0 ; y0) và nhận ${\color{Blue}\overrightarrow{u}=(a;b)}$ làm một vectơ chỉ phương có dạng:
Hệ $\left\{\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\right.$ (a2 + b2 > 0 và t là tham số)
• Với mỗi giá trị của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng d. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng d, ta xác định được một giá trị của t.
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số $\left\{\begin{matrix}x=1-2t\\y=-2+t\end{matrix}\right.$
a) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc đường thẳng Δ.
b) Điểm nào trong các điểm C(-1 ; -1), D(1 ; 3) thuộc đường thẳng Δ?
Giải
a) • Với t = 0, ta có: $\left\{\begin{matrix}x=1-2.0\\y=-2+0\end{matrix}\right.$ nên điểm A(1 ; -2) ∈ ∆.
• Với t = 1, ta có: $\left\{\begin{matrix}x=1-2.1\\y=-2+1\end{matrix}\right.$ nên điểm B(-1 ; -1) ∈ ∆.
b) • Ta thấy C(-1 ; -1), B(-1 ; -1) nên C ≡ B, mà ở câu a điểm B ∈ ∆ (ứng với t = 1) do đó C(-1 ; -1) ∈ ∆.
• Thay tọa độ D(1 ; 3) vào Δ ta được:
$\left\{\begin{matrix}1=1-2t\\3=-2+t\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}t=0\\t=5\end{matrix}\right.$ (Hệ vô nghiệm).
Vậy điểm D(1 ; 3) ∉ ∆.
Vectơ $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d nếu $\overrightarrow{n}$ ≠ 0 và giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với d (Hình 27).
Nhận xét:
• Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ chỉ phương của d thì ${\color{Blue}k\overrightarrow{n}}$ (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của d.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
• Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì vectơ ${\color{Blue}\overrightarrow{n}=(-b;a)}$ là một vectơ pháp tuyến của d.
• Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
• Đường thẳng d đi qua M0(x0 ; y0) và nhận ${\color{Blue}\overrightarrow{n}=(a;b)}$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0 ⇔ ax + by + (-ax0 - by0) = 0.
• Mỗi đường thẳng ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng d trong mặt phẳng tọa độ, nhận một vectơ pháp tuyến là ${\color{Blue}\overrightarrow{n}=(a;b)}$.
• Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình đường thẳng d là ax + c = 0. Khi đó d song song (hoặc trùng) với trục Oy và cắt trục Ox tại điểm $\left(\frac{-c}{a};0\right)$ (Hình 29).
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d là by + c = 0. Khi đó d song song (hoặc trùng) với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm $\left(0;\frac{-c}{b}\right)$ (Hình 30).
• Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì phương trình đường thẳng d có thể viết là $y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$.
Khi đó đường thẳng d là đồ thị hàm số bậc nhất ${\color{Blue}y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}}$ có hệ số góc ${\color{Blue}k=\frac{-a}{b}}$.
• Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.
Cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0.
a) Chỉ ra tọa độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc Δ.
Giải
a) (∆): x – y + 1 = 0 nên ∆ có $\overrightarrow{n}$ = (1 ; -1) là một vectơ pháp tuyến và $\overrightarrow{u}$ = (1 ; 1) là một vectơ chỉ phương.
b) Cho x = 0 thay vào (∆): x – y + 1 = 0, ta được: 0 – y + 1 = 0 ⇔ y = 1. Ta được điểm A(0 ; 1) ∈ ∆.
Tương tự, cho x = 1, ta được: 1 – y + 1 = 0 ⇔ y = 2. Ta được điểm B(1 ; 2) ∈ ∆.
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ${\color{Blue}M(x_0;y_0)}$ và nhận ${\color{Blue}\overrightarrow{n}=(a;b)}(\overrightarrow{n}≠\overrightarrow{0})$ làm vectơ pháp tuyến là:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0.
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm ${\color{Blue}M(x_0;y_0)}$ và nhận ${\color{Blue}\overrightarrow{u}=(a;b)}(\overrightarrow{u}≠\overrightarrow{0})$ làm vectơ chỉ phương là:
$\left\{\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\right.$ (t là tham số).
Nếu $\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$ thì ta còn có thể viết phương trình ∆ ở dạng:
$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$.
Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm ${\color{Blue}A(x_0;y_0),B(x_1;y_1)}$ nên nhận vectơ ${\color{Blue}\overrightarrow{AB}=(x_1-x_0;y_1-y_0)}$ làm vectơ chỉ phương.
Nếu x1 - x0 ≠ 0 và y1 - y0 ≠ 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ ở dạng:
$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}$.
Phương trình đường thẳng ∆ cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm ${\color{Blue}A(a;0),B(0;b)}$ với ab ≠ 0 (Hình 32), có dạng là:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.
được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Lập phương trình đường thẳng ∆ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(-2 ; -3) và có $\overrightarrow{n}$ = (2 ; 5) là vectơ pháp tuyến;
b) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3 ; -5) và có $\overrightarrow{u}$ = (2 ; -4) là vectơ chỉ phương;
c) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(-3 ; 4) và B(1 ; -1).
Giải
a) Phương trình ∆ là: 2[x - (-2)] + 5[y - (-3)] = 0 ⇔ 2x + 5y + 19 = 0.
b) Phương trình ∆ là: $\frac{x-3}{2}=\frac{y-(-5)}{-4}$ ⇔ 2x + y - 1 = 0.
b) Phương trình ∆ là: $\frac{x-(-3)}{1-(-3)}=\frac{y-4}{-1-4}$ ⇔ 5x + 4y - 1 = 0.
Xem thêm các bài học khác :