Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Nếu $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ thì

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2 ; y_1+y_2)$;

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(x_1-x_2 ; y_1-y_2)$;

$k\overrightarrow{u}=(kx_1 ; ky_1)$ với k ∈ ℝ.

Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)(\overrightarrow{v}≠\overrightarrow{0})$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho ${\color{Blue}x_1=kx_2}$ và ${\color{Blue}y_1=ky_2}$.

Ví dụ

Cho $\overrightarrow{u}$ = (-2 ; 0),$\overrightarrow{v}$ = (0 ; 6), $\overrightarrow{w}$ = (-2 ; 3). Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$.

Giải

• $\overrightarrow{u}$ = (-2 ; 0),$\overrightarrow{v}$ = (0 ; 6) nên $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ = (-2+0 ; 0+6) = (-2 ; 6).

•  $\overrightarrow{w}$ = (-2 ; 3) nên $2\overrightarrow{w}$ = (2.(-2) ; 2.3) = (-4 ; 6).

Vậy $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ = (-2-(-4) ; 6-6) = (2 ; 0).

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

• Cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Nếu M(xM ; yM) là trung điểm đoạn thẳng AB thì

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

• Cho ∆ABC có A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC). Nếu G(xG ; yG) là trọng tâm ∆ABC thì

$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

 

Ví dụ

1) Cho hai điểm A(2 ; 4) và M(5 ; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Giải

Ta có, M(5 ; 7) là trung điểm của AB với A(2 ; 4) và B(x­B ; y­B) ⇒ $\left\{\begin{matrix}5=\frac{2+x_B}{2}\\7=\frac{4+y_B}{2}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x_B=8\\y_B=10\end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ điểm B là B(8 ; 10).

 

2) Cho ba điểm A(-1 ; 1), B(1 ; 5), G(1 ; 2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (1−(-1) ; 5−1) = (2 ; 4), $\overrightarrow{AG}$ = (1−(-1) ; 2−1) = (2 ; 1).

Vì $\frac{2}{2}≠\frac{4}{1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Ta có: G(1 ; 2) là trọng tâm của ∆ABC (với A(-1 ; 1), B(1 ; 5), C(xC; yC)) nên

$\left\{\begin{matrix}1=\frac{-1+1+x_C}{3}\\2=\frac{1+5+y_C}{3}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x_C=3\\y_C=0\end{matrix}\right.$

Vậy tọa độ điểm C là C(3 ; 0).

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ thì

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$.

Nhận xét:

• Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x ; y) thì

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.

• Nếu A(xA ; yA) và B(xB ; yB) thì

AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

• Với $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:

$\overrightarrow{u}⊥\overrightarrow{v}$ ⇔ x1.x2 + y1.y2 = 0.

$cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}=\frac{x_1.x_2+y_1.y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.

Ví dụ

Cho ∆ABC có A(2 ; 2), B(1 ; -1), C(8 ; 0).

a) Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ và cosB.

b) Chứng minh $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$.

c) Giải tam giác ABC.

Giải

a) • Ta có: $\overrightarrow{BA}$ = (2-1 ; 2-(-1)) = (1 ; 3), $\overrightarrow{BC}$ = (8-1 ; 0-(-1)) = (7 ; 1) nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 1.7 + 3.1 = 10.

• Ta có: $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}$ nên

cosB = $cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|.|\overrightarrow{BC}|}=\frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ = (-1 ; -3), $\overrightarrow{AC}$ = (8-2 ; 0-2) = (6 ; -2).

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = (-1).6 + (-3).(-2) = 0 ⇒ $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$.

c) Do $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$ nên ∆ABC vuông tại A (hay $\widehat{A}$ = 90°). Ta có:

• cosB = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 63°. Từ đó $\widehat{C}$ ≈ 90° - 63° = 27°.

• AB = $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{10}$, BC = $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$,

AC = $\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{10}$.


Xem thêm các bài học khác :

Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1. Tọa độ của vectơ
Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Bài 3. Phương trình đường thẳng
Bài 4. Ví trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài 5. Phương trình đường tròn
Bài 6. Ba đường conic
Ôn tập chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng