Nếu $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ thì
$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x_1+x_2 ; y_1+y_2)$;
$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(x_1-x_2 ; y_1-y_2)$;
$k\overrightarrow{u}=(kx_1 ; ky_1)$ với k ∈ ℝ.
Nhận xét: Hai vectơ $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)(\overrightarrow{v}≠\overrightarrow{0})$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho ${\color{Blue}x_1=kx_2}$ và ${\color{Blue}y_1=ky_2}$.
Cho $\overrightarrow{u}$ = (-2 ; 0),$\overrightarrow{v}$ = (0 ; 6), $\overrightarrow{w}$ = (-2 ; 3). Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$.
Giải
• $\overrightarrow{u}$ = (-2 ; 0),$\overrightarrow{v}$ = (0 ; 6) nên $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ = (-2+0 ; 0+6) = (-2 ; 6).
• $\overrightarrow{w}$ = (-2 ; 3) nên $2\overrightarrow{w}$ = (2.(-2) ; 2.3) = (-4 ; 6).
Vậy $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ = (-2-(-4) ; 6-6) = (2 ; 0).
• Cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB). Nếu M(xM ; yM) là trung điểm đoạn thẳng AB thì
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2};y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.
• Cho ∆ABC có A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC). Nếu G(xG ; yG) là trọng tâm ∆ABC thì
$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
1) Cho hai điểm A(2 ; 4) và M(5 ; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.
Giải
Ta có, M(5 ; 7) là trung điểm của AB với A(2 ; 4) và B(xB ; yB) ⇒ $\left\{\begin{matrix}5=\frac{2+x_B}{2}\\7=\frac{4+y_B}{2}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x_B=8\\y_B=10\end{matrix}\right.$
Vậy tọa độ điểm B là B(8 ; 10).
2) Cho ba điểm A(-1 ; 1), B(1 ; 5), G(1 ; 2).
a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (1−(-1) ; 5−1) = (2 ; 4), $\overrightarrow{AG}$ = (1−(-1) ; 2−1) = (2 ; 1).
Vì $\frac{2}{2}≠\frac{4}{1}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}$ không cùng phương.
Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Ta có: G(1 ; 2) là trọng tâm của ∆ABC (với A(-1 ; 1), B(1 ; 5), C(xC; yC)) nên
$\left\{\begin{matrix}1=\frac{-1+1+x_C}{3}\\2=\frac{1+5+y_C}{3}\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x_C=3\\y_C=0\end{matrix}\right.$
Vậy tọa độ điểm C là C(3 ; 0).
Nếu $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ thì
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2$.
Nhận xét:
• Nếu $\overrightarrow{a}$ = (x ; y) thì
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Nếu A(xA ; yA) và B(xB ; yB) thì
AB = $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
• Với $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$ đều khác $\overrightarrow{0}$, ta có:
$\overrightarrow{u}⊥\overrightarrow{v}$ ⇔ x1.x2 + y1.y2 = 0.
$cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}=\frac{x_1.x_2+y_1.y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$.
Cho ∆ABC có A(2 ; 2), B(1 ; -1), C(8 ; 0).
a) Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ và cosB.
b) Chứng minh $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$.
c) Giải tam giác ABC.
Giải
a) • Ta có: $\overrightarrow{BA}$ = (2-1 ; 2-(-1)) = (1 ; 3), $\overrightarrow{BC}$ = (8-1 ; 0-(-1)) = (7 ; 1) nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = 1.7 + 3.1 = 10.
• Ta có: $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}$ nên
cosB = $cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|.|\overrightarrow{BC}|}=\frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ = (-1 ; -3), $\overrightarrow{AC}$ = (8-2 ; 0-2) = (6 ; -2).
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = (-1).6 + (-3).(-2) = 0 ⇒ $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$.
c) Do $\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$ nên ∆ABC vuông tại A (hay $\widehat{A}$ = 90°). Ta có:
• cosB = $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ⇒ $\widehat{B}$ ≈ 63°. Từ đó $\widehat{C}$ ≈ 90° - 63° = 27°.
• AB = $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{10}$, BC = $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$,
AC = $\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{10}$.
Xem thêm các bài học khác :