1) Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}$ = 30°, AB = 3 cm. Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.
Giải
$\widehat{C}=90°-\widehat{B}$ = 90° - 30° = 60°;
BC = AB : cosB = 3 : cos30° = $2\sqrt{3}$ (cm);
AC = AB . tanB = 3 . tan30° = $\sqrt{3}$ (cm).
• $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ = BA.BC.cosB = 3.$2\sqrt{3}$.cos30° = 9.
• $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$ = CA.CB.cosC = $\sqrt{3}.2\sqrt{3}$.cos60° = 3.
2) Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:
a) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}$; b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$.
Giải
∆ABC đều cạnh a nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ = 60° và AB = BC = AC = a.
Trên BC lấy điểm D sao cho $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}$, do đó BD = BC = a.
Ta có: $\widehat{ABD}=180°-\widehat{ABC}$ = 180° - 60° = 120°.
a) $\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BA}$ = BD.BA.$cos\widehat{ABD}$ = a.a.cos120° = ${\color{Blue}\frac{-a^2}{2}}$.
b) Ta có AH ⊥ BC (vì AH là đường cao) ⇒ $\overrightarrow{AH}⊥\overrightarrow{BC}$.
Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ = 0.
Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và số thực k tùy ý, ta có:
• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán);
• $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ (tính chất phân phối);
• $(k\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$;
• $\overrightarrow{a}^2≥0,\overrightarrow{a}^2=0⇔\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.
Trong đó, kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}^2$ gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.
Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, ta có:
a) $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$;
b) $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$;
c) $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2$.
Giải
a) $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$
= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$
= $\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$.
b) $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$
= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b}).(-\overrightarrow{b})$
= $\overrightarrow{a}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2$.
c) $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$
= $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{b}$
= $\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2$.
Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: ${\color{Blue}\overrightarrow{AB}^2=AB^2}$.
Do đó độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: ${\color{Blue}AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}^2}}$.
• Cho hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Ta có: ${\color{Blue}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0⇔\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}}$.
• ${\color{Blue}AB⊥CD⇔\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0}$.
• $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$ có giá lần lượt song song (hoặc trùng) với đường thẳng a, b. Ta có, ${\color{Blue}a⊥b⇔\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0}$.
Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC2 = AB2 + AC2.
Giải
• Ta chứng minh định lí thuận: "Nếu tam giác ABC vuông ở A, thì BC2 = AB2 + AC2 ".
Ta có: $\overrightarrow{BC}^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2$
= $\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2$.
Suy ra BC2 = AC2 + AB2 .
(Vì ∆ABC vuông tại A nên $\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{AB}$. Do đó, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$ = 0.)
• Ta chứng minh định lí đảo: "Nếu tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A".
Ta có: $\overrightarrow{BC}^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2$
= $\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2$.
Suy ra BC2 = AC2 - 2AC.AB.cosA + AB2 (1).
Mà BC2 = AB2 + AC2 nên từ (1) suy ra cosA = 0 hay $\widehat{A}$ = 90°.
Vậy ∆ABC vuông tại A.
Xem thêm các bài học khác :