• Với ba điểm bất kì A, B, C, $\overrightarrow{AC}$ dược gọi là tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$, kí hiệu là ${\color{Blue}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}$.
• Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A tùy ý, vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ dược gọi là tổng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là ${\color{Blue}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$.
Phép lấy tổng của hai vectơ còn gọi là phép cộng vectơ.
Nếu ABCD là hình bình hành thì ${\color{Blue}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}}$ (Hình 52).
Với ba vectơ tùy ý $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ta có:
• $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$ (tính chất giao hoán);
• $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ (tính chất kết hợp);
• $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$ (tính chất cộng vectơ-không).
Chú ý: Tổng ba vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ được xác định theo một trong hai cách:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}$ hoặc $\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$.
1) Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$.
Giải
• Ta có: $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BM}$ (vì M là trung điểm của BC)
⇒ $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PM}$ (1).
• P, M lần lượt là trung điểm của AB, BC ⇒ PM là đường trung bình của ∆ABC
⇒ PM // AC và PM = $\frac{AC}{2}$.
Mà AN = $\frac{AC}{2}$ (vì N là trung điểm của AC), do đó PM // AN và PM = AN
⇒ $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AN}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$.
2) Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$.
Giải
Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}$
= $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CE}$
= $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}$ (vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ )
= $\overrightarrow{AE}$.
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$.
Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}$.
Giải
Ta có N là trung điểm BC nên $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CN}$.
Ta có: $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{NM}$.
∆ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC nên MN là đường trung bình ⇒ MN = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.
Vậy $|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}|=|\overrightarrow{NM}|$ = NM = $\frac{a}{2}$.
Xem thêm các bài học khác :