Bài 2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

1. Giải tam giác

Giải tam giáctính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Ví dụ

14 6 10 C Hình 20 B A

Giải tam giác ABC trong Hình 20.

Giải

• Áp dụng định lí côsin trong ∆ABC, ta có:

cosA = $\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\frac{6^2+10^2-14^2}{2.6.10}$ = -0,5.

⇒ $\widehat{A}$ = 120°.

• Áp dụng định lí sin trong ∆ABC, ta có:

$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$

⇒ sinC = $\frac{AB.sinA}{BC}=\frac{6.sin120°}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$

⇒ $\widehat{C}$ ≈ 22°.

• Ta có: $\widehat{B}=180°-(\widehat{A}+\widehat{C})$ = 180° - (120° + 22°) = 38°.

Vậy ∆ABC có độ dài ba cạnh trong Hình 20 và số đo ba góc A, B, C lần lượt là 120°, 38°, 22°.

2. Tính diện tích tam giác

Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c và p = $\frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi). Khi đó, diện tích S của ∆ABC là:

S = $\frac{1}{2}$bc.sinA = $\frac{1}{2}$ac.sinB = $\frac{1}{2}$ab.sinC.

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron).

 

(Bạn đọc thêm nội dung III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN trong sách Toán 10 Cách Diều - tập một - trang 75.)

Ví dụ

1) Cho ∆ABC có AB = 12; $\widehat{B}$ = 60°; $\widehat{C}$ = 45°. Tính diện tích của ∆ABC.

Giải

12 45° C B A 60°

• Ta có: $\widehat{A}=180°-(\widehat{B}+\widehat{C}$ = 180° - (60° + 45°) = 75°.

• Áp dụng định lý sin trong ∆ABC ta có: $\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$

⇒ AC = $\frac{AB.sinB}{sinC}=\frac{12.sin60°}{sin45°}=6\sqrt{6}$.

• SABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC.sinA = $\frac{1}{2}.12.6\sqrt{6}$ . sin75° ≈ 85,2 (đvdt).

Vậy diện tích của ∆ABC gần bằng 85,2 (đơn vị diện tích).

2) Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Giải

M B A 34° x 24° E 18,5 m . F 1,5 m 30 m

Theo số liệu bài toán, ta có hình vẽ. Quan sát hình:

• Ta có:  AB = 18,5  + 1,5 = 20 (m).

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆ABF vuông tại B:

AF2 = AB2 + BF2 = 302 + 202 = 1300

⇒ AF = $\sqrt{1300}=10\sqrt{13}$ (m).

• $\widehat{EAF}=\widehat{xAF}-\widehat{xAE}$ = 34° - 24° = 10°.

$\widehat{AFE}=\widehat{BAF}$ = 90° - 34° = 56°.

• Xét ∆AEF, ta có: $\widehat{E}=180°-(\widehat{A}+\widehat{F}$ = 180° - (10° + 56°) = 114°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác CDE ta có: $\frac{EF}{sinA}=\frac{AF}{sinE}$

⇒ EF = $\frac{AF.sinA}{sinE}=\frac{10\sqrt{13}.sin10°}{sin114°}$ ≈ 6,9 (m).

Vậy chiều cao của cây khoảng 6,9 m.

3. Công thức: độ dài đường trung tuyến, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác

Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, p, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi, diện tích của ∆ABC.

Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ∆ABC. Ta có:

Công thức độ dài đường trung tuyến

A D C B a m

${m_a}^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$,

${m_b}^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$,

${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$,

Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

$r=\frac{S}{p},R=\frac{abc}{4S}$.

 


Xem thêm các bài học khác :

Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác
Bài 2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
Bài 3. Khái niệm vectơ
Bài 4. Tổng và hiệu của hai vectơ
Bài 5. Tích của một số với một vectơ
Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ
Ôn tập Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ