Giải tam giác ABC trong Hình 20.
Giải
• Áp dụng định lí côsin trong ∆ABC, ta có:
cosA = $\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\frac{6^2+10^2-14^2}{2.6.10}$ = -0,5.
⇒ $\widehat{A}$ = 120°.
• Áp dụng định lí sin trong ∆ABC, ta có:
$\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}$
⇒ sinC = $\frac{AB.sinA}{BC}=\frac{6.sin120°}{14}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$
⇒ $\widehat{C}$ ≈ 22°.
• Ta có: $\widehat{B}=180°-(\widehat{A}+\widehat{C})$ = 180° - (120° + 22°) = 38°.
Vậy ∆ABC có độ dài ba cạnh trong Hình 20 và số đo ba góc A, B, C lần lượt là 120°, 38°, 22°.
Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c và p = $\frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi). Khi đó, diện tích S của ∆ABC là:
S = $\frac{1}{2}$bc.sinA = $\frac{1}{2}$ac.sinB = $\frac{1}{2}$ab.sinC.
S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron).
(Bạn đọc thêm nội dung III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN trong sách Toán 10 Cách Diều - tập một - trang 75.)
1) Cho ∆ABC có AB = 12; $\widehat{B}$ = 60°; $\widehat{C}$ = 45°. Tính diện tích của ∆ABC.
Giải
• Ta có: $\widehat{A}=180°-(\widehat{B}+\widehat{C}$ = 180° - (60° + 45°) = 75°.
• Áp dụng định lý sin trong ∆ABC ta có: $\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$
⇒ AC = $\frac{AB.sinB}{sinC}=\frac{12.sin60°}{sin45°}=6\sqrt{6}$.
• SABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC.sinA = $\frac{1}{2}.12.6\sqrt{6}$ . sin75° ≈ 85,2 (đvdt).
Vậy diện tích của ∆ABC gần bằng 85,2 (đơn vị diện tích).
2) Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là 34°, góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là 24°. Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giải
Theo số liệu bài toán, ta có hình vẽ. Quan sát hình:
• Ta có: AB = 18,5 + 1,5 = 20 (m).
Áp dụng định lí Py-ta-go cho ∆ABF vuông tại B:
AF2 = AB2 + BF2 = 302 + 202 = 1300
⇒ AF = $\sqrt{1300}=10\sqrt{13}$ (m).
• $\widehat{EAF}=\widehat{xAF}-\widehat{xAE}$ = 34° - 24° = 10°.
$\widehat{AFE}=\widehat{BAF}$ = 90° - 34° = 56°.
• Xét ∆AEF, ta có: $\widehat{E}=180°-(\widehat{A}+\widehat{F}$ = 180° - (10° + 56°) = 114°.
Áp dụng định lí sin trong tam giác CDE ta có: $\frac{EF}{sinA}=\frac{AF}{sinE}$
⇒ EF = $\frac{AF.sinA}{sinE}=\frac{10\sqrt{13}.sin10°}{sin114°}$ ≈ 6,9 (m).
Vậy chiều cao của cây khoảng 6,9 m.
Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, p, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi, diện tích của ∆ABC.
Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của ∆ABC. Ta có:
${m_a}^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$,
${m_b}^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$,
${m_c}^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$,
$r=\frac{S}{p},R=\frac{abc}{4S}$.
Xem thêm các bài học khác :