Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$.
Giải
Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ AG = $\frac{2}{3}$AM; GN = $\frac{1}{2}$GB.
• Ta có: $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{AM}$ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AM}|$
⇒ $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Vậy a = $\frac{2}{3}$.
• Ta có: $\overrightarrow{GN},\overrightarrow{GB}$ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$.
⇒ $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$. Vậy b = $-\frac{1}{2}$.
Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và hai số thực h, k, ta có:
• $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};k(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}$;
• $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$;
• $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$;
• $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};(-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$.
Nhận xét: $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ ⇔ k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}={\color{Blue}\overrightarrow{0}}$.
Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}$.
Giải
$3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})$
= $3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}$
= $(3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB})+(6\overrightarrow{BC}-6\overrightarrow{BC})$
= $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}$.
Vậy $3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}$.
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ${\color{Blue}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}}$ với điểm M bất kì.
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì ${\color{Blue}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}}$ với điểm M bất kì.
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}(\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0})$ cùng phương là có một số thực k để ${\color{Blue}\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}}$.
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để ${\color{Blue}\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}}$.
Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{c}$, ta luôn có duy nhất cặp số (x ; y) thỏa mãn ${\color{Blue}\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}}$.
1) Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.
Giải
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
= $(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG})$
= $3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ (vì $-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GA}$)
= $3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{0}$ (vì G là trọng tâm của ∆ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$)
= $3\overrightarrow{AG}$.
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.
2) Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$; b) $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$.
Giải
a) $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ cùng hướng và AC = $\frac{3}{4}$AD
nên $\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$. Vậy k = ${\color{Blue}\frac{3}{4}}$.
b) $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DC}$ ngược hướng và BD = 3DC
nên $\overrightarrow{BD}=(-3)\overrightarrow{DC}$. Vậy k = -3.
Xem thêm các bài học khác :