Xét phương trình sin x = m.
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:
x = α + k2π, k ∈ ℤ và x = π - α + k2π, k ∈ ℤ,
với α ∈ $\left[\frac{-π}{2};\frac{π}{2}\right]$ sao cho sin α = m.
a) Một số trường hợp đặc biệt:
sin x = 1 ⇔ x = $\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ;
sin x = -1 ⇔ x = $\frac{-π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ;
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.
b) sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = π - v + k2π, k ∈ ℤ.
c) sin x = sin a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = 180° - a° + k360°, k ∈ ℤ.
Giải các phương trình sau:
a) sin x = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°).
Giải
a) Vì sin$\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình có các nghiệm là:
x = $\frac{π}{3}+k2π$, k ∈ ℤ và x = $π-\frac{π}{3}+k2π=\frac{2π}{3}+k2π$, k ∈ ℤ.
b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)
⇔ x + 30° = x + 60° + k360°, k ∈ ℤ (1) hoặc x + 30° = 180° – (x + 60°) + k360°, k ∈ ℤ (2).
(1) ⇔ 0.x = 30° + k360°. Phương trình (1) vô nghiệm.
(2) ⇔ 2x = 90° + k360° ⇔ x = 45° + k180°, k ∈ ℤ.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 45° + k180°, k ∈ ℤ.
Xét phương trình cos x = m.
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:
x = α + k2π, k ∈ ℤ và x = -α + k2π, k ∈ ℤ,
với α ∈ [0 ; π] sao cho cos α = m.
a) Một số trường hợp đặc biệt:
cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ;
cos x = -1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ;
cos x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{2}+kπ$, k ∈ ℤ.
b) cos u = cos v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = -v + k2π, k ∈ ℤ.
c) cos x = cos a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = -a° + k360°, k ∈ ℤ.
Giải các phương trình sau:
a) cosx = -3; b) cosx = cos15°; c) cos$\left(x+\frac{π}{12}\right)$ = cos$\frac{3π}{12}$.
Giải
a) Vì -3 < -1 nên phương trình cosx = -3 vô nghiệm.
b) cosx = cos15°
phương trình có các nghiệm là x = 15° + k360°, k ∈ ℤ và -15° + k360°, k ∈ ℤ.
c) cos$\left(x+\frac{π}{12}\right)$ = cos$\frac{3π}{12}$
⇔ $x+\frac{π}{12}=\frac{3π}{12}+k2π$, k ∈ ℤ hoặc $x+\frac{π}{12}=-\frac{3π}{12}+k2π$, k ∈ ℤ
⇔ x = $\frac{π}{6}$ + k2π, k ∈ ℤ hoặc x = $\frac{-π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.
Vậy phương trình có các nghiệm là x = $\frac{π}{6}$ + k2π, k ∈ ℤ và x = $\frac{-π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.
Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm
x = α + kπ, k ∈ ℤ ,
với α ∈ $\left(\frac{-π}{2};\frac{π}{2}\right)$ sao cho tan α = m.
Chú ý: tan x = tan a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.
Giải các phương trình sau:
a) tan x = 0; b) tan(30° – 3x) = tan 75°.
Giải
a) tan 0 = 0 nên phương trình tan x = 0 có các nghiệm là x = kπ, k ∈ ℤ.
b) tan(30° – 3x) = tan 75°
⇔ 30° – 3x = 75° + k180°, k ∈ ℤ
⇔ x = -15° - k60°, k ∈ ℤ
Vậy phương trình có các nghiệm là: x = -15° - k60°, k ∈ ℤ.
Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm
x = α + kπ, k ∈ ℤ ,
với α ∈ (0 ; π) sao cho cot α = m.
Chú ý: cot x = cot a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.
Giải các phương trình sau:
a) cot x = 1; b) cot(3x + 30°) = cot 75°.
Giải
a) Vì cot$\frac{π}{4}$ = 1 nên phương trình cotx = 1 có các nghiệm là x = $\frac{π}{4}+kπ$, k∈Z.
b) cot(3x + 30°) = cot 75°
⇔ 3x + 30° = 75° + k180°, k ∈ ℤ
⇔ x = 15° + k60°, k ∈ ℤ.
Vậy phương trình có các nghiệm là: x = 15° + k60°, k ∈ ℤ.
Xem thêm các bài học khác :