Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Để chỉ sự tương đương của các phương trình người ta dùng kí hiệu .

Phép biến đổi tương đương:

• Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

• Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

2. Phương trình sin x = m

Xét phương trình sin x = m.

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2π, k ∈ ℤ và x = π - α + k2π, k ∈ ℤ,

với α ∈ $\left[\frac{-π}{2};\frac{π}{2}\right]$ sao cho sin α = m.

Chú ý:

a) Một số trường hợp đặc biệt:

sin x = 1 ⇔ x = $\frac{π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ;

sin x = -1 ⇔ x = $\frac{-π}{2}+k2π$, k ∈ ℤ;

sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.

b) sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = π - v + k2π, k ∈ ℤ.

c) sin x = sin a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = 180° - a° + k360°, k ∈ ℤ.

Ví dụ

Giải các phương trình sau:

a) sin x = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;   b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°).

Giải

a) Vì sin$\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình có các nghiệm là:

x = $\frac{π}{3}+k2π$, k ∈ ℤ và x = $π-\frac{π}{3}+k2π=\frac{2π}{3}+k2π$, k ∈ ℤ.

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)

⇔ x + 30° = x + 60° + k360°, k ∈ ℤ (1) hoặc x + 30° = 180° – (x + 60°) + k360°, k ∈ ℤ (2).

(1) ⇔ 0.x = 30° + k360°. Phương trình (1) vô nghiệm.

(2) ⇔ 2x = 90° + k360° ⇔ x = 45° + k180°, k ∈ ℤ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 45° + k180°, k ∈ ℤ.

3. Phương trình cosx = m

Xét phương trình cos x = m.

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2π, k ∈ ℤ và x = -α + k2π, k ∈ ℤ,

với α ∈ [0 ;  π] sao cho cos α = m.

Chú ý:

a) Một số trường hợp đặc biệt:

cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ;

cos x = -1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ;

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{π}{2}+kπ$, k ∈ ℤ.

b) cos u = cos v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = -v + k2π, k ∈ ℤ.

c) cos x = cos a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = -a° + k360°, k ∈ ℤ.

Ví dụ

Giải các phương trình sau:

a) cosx = -3;  b) cosx = cos15°;  c) cos$\left(x+\frac{π}{12}\right)$ = cos$\frac{3π}{12}$.

Giải

a) Vì -3 < -1 nên phương trình cosx = -3 vô nghiệm.

b) cosx = cos15°

phương trình có các nghiệm là x = 15° + k360°, k ∈ ℤ và -15° + k360°, k ∈ ℤ.

c) cos$\left(x+\frac{π}{12}\right)$ = cos$\frac{3π}{12}$

⇔ $x+\frac{π}{12}=\frac{3π}{12}+k2π$, k ∈ ℤ hoặc $x+\frac{π}{12}=-\frac{3π}{12}+k2π$, k ∈ ℤ

⇔ x = $\frac{π}{6}$ + k2π, k ∈ ℤ hoặc x = $\frac{-π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

Vậy phương trình có các nghiệm là x = $\frac{π}{6}$ + k2π, k ∈ ℤ và x = $\frac{-π}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

4. Phương trình tan x = m

Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm

x = α + kπ, k ∈ ℤ ,

với α ∈ $\left(\frac{-π}{2};\frac{π}{2}\right)$ sao cho tan α = m.

Chú ý: tan x = tan a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.

Ví dụ

Giải các phương trình sau:

a) tan x = 0;  b) tan(30° – 3x) = tan 75°.

Giải

a) tan 0 = 0 nên phương trình tan x = 0 có các nghiệm là x = kπ, k ∈ ℤ.

b) tan(30° – 3x) = tan 75°

⇔ 30° – 3x = 75° + k180°, k ∈ ℤ

⇔ x = -15° - k60°, k ∈ ℤ

Vậy phương trình có các nghiệm là: x = -15° - k60°, k ∈ ℤ.

5. Phương trình cot x = m

Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm

x = α + kπ, k ∈ ℤ ,

với α ∈ (0 ; π) sao cho cot α = m.

Chú ý: cot x = cot a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.

Ví dụ

Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;   b) cot(3x + 30°) = cot 75°.

Giải

a) Vì cot$\frac{π}{4}$ = 1 nên phương trình cotx = 1 có các nghiệm là x = $\frac{π}{4}+kπ$, k∈Z.

b) cot(3x + 30°) = cot 75°

⇔ 3x + 30° = 75° + k180°, k ∈ ℤ

⇔ x = 15° + k60°, k ∈ ℤ.

Vậy phương trình có các nghiệm là: x = 15° + k60°, k ∈ ℤ.


Xem thêm các bài học khác :

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Góc lượng giác
Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác
Bài 3. Các công thức lượng giác
Bài 4. Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 5. Phương trình lượng giác cơ bản