Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) còn gọi là tam thức bậc hai. Sau đây, ta sẽ làm quen với việc xét dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) , ∆ = b2 - 4ac.
• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu a với ∀x ∈ ℝ.
• Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu a với ∀x ∈ ℝ \ $\left\{\frac{-b}{2a}\right\}$.
• Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2). Khi đó:
| x | -∞ | x1 | x2 | +∞ | |||
| f(x) | cùng dấu a | 0 | trái dấu a | 0 | cùng dấu a |
Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = -2x2 + 4x - 5; b) f(x) = -x2 + 6x - 9; c) f(x) = -x2 - 2x + 8.
Giải
a) f(x) = -2x2 + 4x - 5 có ∆ = b2 - 4ac = 42 - 4.(-2).(-5) = -24 < 0, a = -2 < 0 nên f(x) < 0 với ∀x ∈ ℝ.
b) f(x) = -x2 + 6x - 9 có ∆ = b2 - 4ac = 62 - 4.(-1).(-9) = 0, f(x) có nghiệm kép x0 = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.(-1)}$ = 3 và a = -1 < 0 nên f(x) < 0 với ∀x ∈ R \ { 3 }.
c) f(x) = -x2 - 2x + 8 có ∆ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4.(-1).8 = 36 > 0, f(x) có hai nghiệm x1 = -4, x2 = 2 và a = -1 < 0.
Ta có bảng xét dấu như sau:
x
-∞
-4
2
+∞
f(x)
-
0
+
0
-
Xem thêm các bài học khác :