Bài 1. Hàm số và đồ thị

1) Trong y học một người cân nặng 60 kg chạy với tốc độ 6,5 km/h thì lượng calo tiêu thụ được tính theo công thức: c = 4,7t (Nguồn: https://irace.vn), trong đó thời gian t được tính theo phút. Hỏi c có phải là hàm số của t không? Vì sao?

Giải

c là hàm số của t vì mỗi giá trị của t chỉ có đúng một giá trị tương ứng của c.

2) Tìm tập xác định của hàm số: $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$.

Giải

Biểu thức $\frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{matrix}x+2≥0\\x-3≠0\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x≥-2\\x≠3\end{matrix}\right.$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [-2 ; +∞) \ { 3 }.

3) Cho hàm số: $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x nếu x<0\\x nếu x>0.\end{matrix}\right.$

a) Tìm tập xác định của hàm số trên. 

b) Tính giá trị của hàm số khi x = -1; x = 2 022.

Giải

a) Hàm số y có nghĩa khi x < 0, x > 0 nên tập xác định của hàm số là D = ℝ \ { 0 }.

b) Với x = -1 < 0 thì y = -x = -(-1) = 1, nên f(-1) = 1.

Với x = 2 022 > 0 thì y = x = 2 022, nên f(2 022) = 2 022.

Cho hàm số y = $\frac{1}{x}$ và ba điểm M(-1 ; -1), N(0 ; 2), P(2 ; 1). Điểm nào thuộc đồ thị hàm số trên? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số trên?

Giải

Hàm số y = $\frac{1}{x}$ có tập xác định D = ℝ \ { 0 }.

• Xét M(-1 ; -1), ta có: -1 ∈ D và f(-1) = $\frac{1}{-1}$ = -1. Vì -1 = f(-1) nên M thuộc đồ thị hàm số.

• Xét N(0 ; 2), ta có: 0 ∉ D nên N không thuộc đồ thị hàm số.

• Xét P(2 ; 1), ta có: 2 ∈ D và f(2) = $\frac{1}{2}$. Vì 1 ≠ f(2) nên P không thuộc đồ thị hàm số.

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 6x². 

Giải

Hàm số y = 6x² có tập xác định D = ℝ.

• Xét hai số bất kì x₁, x₂ ∈ (0 ; +∞) sao cho x₁ < x₂.

Ta có, 0 < x₁ < x₂ ⇒ 6x₁² < 6x₂² hay f(x₁) < f(x₂). Vậy hàm số đồng biến trên (0 ; +∞).

• Xét hai số bất kì x₁, x₂ ∈ (-∞ ; 0) sao cho x₁ < x₂.

Ta có, x₁ < x₂ < 0 ⇒ 6x₁² > 6x₂² hay f(x₁) > f(x₂). Vậy hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 0).

♦ Bảng biến thiên của hàm số y = 6x² :

(Dấu → đi xuống từ +∞ đến 0 diễn tả hàm số nghịch biến trên (-∞ ; 0). Dấu → đi lên từ 0 đến +∞ diễn tả hàm số đồng biến trên (0 ; +∞) )

Nhận xét: Xét sự biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến. Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên.

♦ Đồ thị của hàm số y = 6x² :

Bảng giá trị:

(Khi giá trị x tăng từ -∞ đến 0, ta thấy nhánh đồ thị đi xuống, khi giá trị x tăng từ 0 đến +∞, ta thấy nhánh đồ thị đi lên)