Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}$ (xem Hình 2).
Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
Với ba điểm M, N, P, ta có: ${\color{Blue}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}}$.
Chú ý: Khi cộng hai vectơ theo quy tắc ba điểm thì điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có ${\color{Blue}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}}$ (xem Hình 5).
Chú ý: Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán về tìm tổng của hai vectơ có chung điểm đầu.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
Giải
Dựng hình bình hành ACMB, ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}$.
Do ∆ABC đều cạnh a nên hình bình hành ABDC là hình thoi và có $\widehat{ABM}$ = 120°.
Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM ta có: AM2 = AB2 + BM2 – 2.AB.BM. cosB = a2 + a2 – 2.a.a.cos120° = 3a2.
Suy ra AM = $\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$.
Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$ = AM = $a\sqrt{3}$.
• Tính chất giao hoán: ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}}$;
• Tính chất kết hợp: ${\color{Blue}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$;
• Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}}$.
Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$. Tổng của hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}}$.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài của các vectơ sau:
a) $\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{CB}$;
b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$.
Giải
a) $\overrightarrow{a}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{CB}$
= $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.
Vậy $|\overrightarrow{a}|$ = AD = 1.
b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$
= $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA})$
= $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}$.
Vậy $|\overrightarrow{b}|$ = AC = AB.$\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})}$ và kí hiệu ${\color{Blue}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}$.
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có: ${\color{Blue}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}}$.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:
a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$;
b) $\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})$.
Giải
a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$.
Vậy $|\overrightarrow{a}|$ = DB = AB.$\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
b) $\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC})$
= $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
Vậy $|\overrightarrow{b}|$ = AB = 1.
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi ${\color{Blue}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}}$.
Điểm G là trọng tâm của tam giác AB khi và chỉ khi ${\color{Blue}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}$.
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:
a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$;
b) $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$;
c) $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$.
Giải
a) Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên M là trọng tâm của ∆ADB.
b) Điểm N thỏa mãn $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$ nên N là trọng tâm của ∆DBC.
c) Điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm của MN.
Ta có: MO = $\frac{AO}{3}$ (do M là trọng tâm của ∆ADB), NO = $\frac{CO}{3}$ (do N là trọng tâm của ∆DBC), AO = NO (do O là trung điểm của AC) nên MO = NO.
M, N, O ∈ AC và MO = NO ⇒ O là trung điểm của MN. Vậy điểm P trùng với tâm O của hình bình hành ABCD.
Xem thêm các bài học khác :