Bài 2.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu M=maxDf(x){\color{Blue}M=\underset{D}{max}f(x)}.

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu m=minDf(x){\color{Blue}m=\underset{D}{min}f(x)}.

Chú ý: Người ta còn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số.

Ví dụ

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = 2x3 - 9x2 + 12x + 1 trên đoạn [0 ; 3].

Giải

Ta có: f'(x) = 6x2 - 18x + 12;

f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [0 ; 3] :

x f(x) 0 3 5 f'(x) + 1 2 0 - + 10 0 6 1

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

max[0;3]f(x)=f(3)\underset{[0;3]}{max}f(x)=f(3) = 10;

min[0;3]f(x)=f(0)\underset{[0;3]}{min}f(x)=f(0) = 1.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Bước 1: Tìm các điểm x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn thuộc khoảng (a ; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); f(x3); ... ; f(xn); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2.

Khi đó:

M=max[a;b]f(x),m=min[a;b]f(x)M=\underset{[a;b]}{max}f(x), m=\underset{[a;b]}{min}f(x).

Ví dụ

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x)=x+4x2g(x)=x+\frac{4}{x^2} trên đoạn [1 ; 4].

Giải

Ta có g(x)=1+8x3g'(x)=1+\frac{-8}{x^3};

g'(x) = 0 ⇔ x = 2.

g(1) = 5; g(2) = 3; g(4) = 4,25.

Vậy max[1;4]  g(x)=g(1)=5;min[1;4]  g(x)=g(2)=3\underset{[1;4]}{max}\;g(x)=g(1)=5;\underset{[1;4]}{min}\;g(x)=g(2)=3.


Xem thêm các bài học khác :

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Bài 2.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản