Bài 2. Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Chương 9. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
1. Phương trình đường thẳng
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ ${\color{Blue}\overrightarrow{u}}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{u}≠\overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với ∆.
Vectơ ${\color{Blue}\overrightarrow{n}}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{n}≠\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆ (hay giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với ∆) (xem Hình 1).
Chú ý:
• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (a; b) thì ∆ sẽ nhận $\overrightarrow{u}$ = (b; -a) hoặc $\overrightarrow{u}$ = (-b; a) là một vectơ chỉ phương.
• Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì ${\color{Blue}k\overrightarrow{u}}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.
• Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì ${\color{Blue}k\overrightarrow{n}}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.
Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:
$\left\{\begin{matrix}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2\end{matrix}\right.$ (với $u_1^2+u_2^2$ > 0, t ∈ ℝ)
là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (u1; u2).
Chú ý:
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.
Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (a; b).
• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.
Nhận xét:
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:
$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$ (với xB ≠ xA, yB ≠ yA)
• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
Phương trình trên còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Đồ thị hàm số bậc nhất y = kx + y0 (k ≠ 0) là một đường thẳng có phương trình tổng quát kx - y + y0 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (k; -1).
Ngược lại, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát ax + by + c = 0 ⇔ $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ (với a và b đều khác 0). Như vậy d là đồ thị hàm số bậc nhất $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ với hệ số góc ${\color{Blue}k=-\frac{a}{b}}$ và tung độ góc ${\color{Blue}y_0=-\frac{c}{b}}$.
Chú ý:
• Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình ax + by + c = 0 trở thành ${\color{Blue}y=-\frac{c}{b}}$. Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm $\left(0;\frac{-c}{b}\right)$ (Hình 3a).
• Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình ax + by + c = 0 trở thành ${\color{Blue}x=-\frac{c}{a}}$. Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm $\left(\frac{-c}{a};0\right)$ (Hình 3b).
Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
Ví dụ
1) a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow{v}$ = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm tọa độ P trên d, biết P có tung độ bằng 1.
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ = (8; -4) là:
$\left\{\begin{matrix}x=-9+8t\\y=5-4t\end{matrix}\right.$ (t ∈ ℝ).
b) P ∈ d nên tọa độ P là (-9 + 8t; 5 - 4t).
Vì tung độ của P bằng 1 nên 5 - 4t = 1 ⇔ t = 1.
Thay t = 1 vào biểu thức hoành độ -9 + 8t, ta được hoành độ của P bằng -9 + 8.1 = -1.
Vậy P(-1; 1).
2) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5);
b) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3).
Giải
a) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (-5; 3).
• Phương trình tham số của ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (-5; 3) là:
$\left\{\begin{matrix}x=1-5t\\y=1+3t.\end{matrix}\right.$
• Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) là:
3(x – 1) + 5(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 5y – 8 = 0.
b) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên $\overrightarrow{MN}$ = (-4; 3) là vectơ chỉ phương, suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4).
• Phương trình tham số của ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}$ = (-4; 3) là:
$\left\{\begin{matrix}x=4-4t\\y=3t.\end{matrix}\right.$
• Phương trình tổng quát của ∆ đi qua điểm M(4; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4) là:
3(x – 4) + 4(y – 0) = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0.
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ($a_1^2+b_1^2$ > 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 ($a_2^2+b_2^2$ > 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$.
Nếu $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (xem Hình 5a, 5b) thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên ∆1:
• Nếu P ∈ ∆2 thì ∆1 ≡ ∆2.
• Nếu P ∉ ∆2 thì ∆1 // ∆2.
Nếu $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương (xem Hình 5c) thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0.\end{matrix}\right.$
Chú ý:
a) Nếu ${\color{Blue}\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0}$ (xem Hình 5d) thì ${\color{Blue}\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{n_2}}$, suy ra ∆1 ⊥ ∆2.
b) Để xét hai vectơ $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}(a_2;b_2)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức ${\color{Blue}a_1b_2-a_2b_1}$:
• Nếu ${\color{Blue}a_1b_2-a_2b_1}=0$ thì hai vectơ cùng phương.
• Nếu ${\color{Blue}a_1b_2-a_2b_1}≠0$ thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
• Nếu ${\color{Blue}\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}}$ thì hai vectơ cùng phương.
• Nếu ${\color{Blue}\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}}$ thì hai vectơ không cùng phương.
Ví dụ
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d1 và d2 trong các trường hợp sau:
a) d1: x – 5y + 9 = 0 và d2: 10x + 2y + 7 = 10;
b) d1: 3x – 4y + 9 = 0 và d2: $\left\{\begin{matrix}x=1+4t\\y=1+3t.\end{matrix}\right.$
Giải
a) Ta có d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; -5) và $\overrightarrow{n_2}$ = (10; 2).
Ta có: $\frac{1}{10}≠\frac{-5}{2}$ ⇒ d1 và d2 cắt nhau tại một điểm, có tọa độ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}x-5y+9=0\\10x+2y+7=0.\end{matrix}\right.$
b) Ta có d1 và d2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; -4) và $\overrightarrow{n_2}$ = (-3; 4).
Ta có: $\frac{3}{-3}=\frac{-4}{4}$ ⇒ d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng d2, thay tọa độ của M vào phương trình d1 ta được: 3.1 – 4.1 + 9 = 8 ≠ 0 ⇒ M ∉ d1.
Vậy d1 // d2.
3. Góc giữa hai đường thẳng
♦ Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc (xem Hình 6).
• Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
• Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 90°.
♦ Nếu ∆1 song song hoặc trùng ∆2 thì góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 0°.
Như vậy góc α giữa ∆1 và ∆2 luôn thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 90° và được kí hiệu là ${\color{Blue}\left(\widehat{∆_1,∆_2}\right)}$ hoặc ${\color{Blue}\left(∆_1,∆_2\right)}$.
♦ Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ($a_1^2+b_1^2$ > 0) và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 ($a_2^2+b_2^2$ > 0) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$, Ta có công thức:
$cos\left(∆_1,∆_2\right)=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.
• (∆1 , ∆2) = 90° ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.
• Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:
(∆1 , ∆2) = 90° ⇔ k1. k2 = -1.
Nhận xét:
Nếu ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ thì ${\color{Blue}cos\left(∆_1,∆_2\right)=|cos\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)|}$.
Ví dụ
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trong các trường hợp sau:
a) ∆1: x + 3y – 7 = 0 và ∆2: x – 2y + 3 = 0;
b) ∆1: 4x – 2y + 5 = 0 và ∆2: $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=13+2t;\end{matrix}\right.$
c) ∆1: $\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.$ và ∆2: $\left\{\begin{matrix}x=-7+2t'\\y=1-t'.\end{matrix}\right.$
Giải
a) ∆1: x + 3y – 7 = 0 và ∆2: x – 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; 3) và $\overrightarrow{n_2}$ = (1; -2).
Ta có: cos(∆1; ∆2) = $\frac{|1.1+3.(-2)|}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ⇒ (∆1 , ∆2) = 45°.
b) ∆1: 4x – 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ = (4; -2).
∆2: $\left\{\begin{matrix}x=t\\y=13+2t\end{matrix}\right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2) nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$ = (2; -1).
Ta có: $\overrightarrow{n_1}=2\overrightarrow{n_2}$ ⇒ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ cùng phương. Vậy (∆1 , ∆2) = 0°.
c) ∆1: $\left\{\begin{matrix}x=1+t\\y=3+2t\end{matrix}\right.$ và ∆2: $\left\{\begin{matrix}x=-7+2t'\\y=1-t'\end{matrix}\right.$
có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2) và $\overrightarrow{u_2}$ = (2; -1).
Ta có: 1.2 + 2.(-1) = 0 ⇒ $\overrightarrow{u_1}⊥\overrightarrow{u_2}$. Vậy (∆1 , ∆2) = 90°.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 (a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức:
d(M0 , ∆) = $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Ví dụ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Giải
Phương trình đường thẳng BC là $\frac{x-4}{5-4}=\frac{y-4}{2-4}$ ⇔ 2x + y – 12 = 0.
Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ∆ABC là
d(A, BC) = $\frac{|2.1+1-12|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$.
Xem thêm các bài học khác :