Bài 3. Hàm số liên tục
CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Ví dụ
Xét tính liên tục của hàm số:
a) f(x) = 1 – x2 tại điểm x0 = 3;
b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1\;khi\;x>1\\-x\;khi\;x≤1\end{matrix}\right.$ tại điểm x0 = 1.
Giải
a) $\underset{x\rightarrow3}{lim}1-x^2=\underset{x\rightarrow3}{lim}1-\underset{x\rightarrow3}{lim}x^2$ = 1 - 32 = -8;
f(3) = 1 – 32 = -8, suy ra $\underset{x\rightarrow3}{lim}f(x)=f(3)$ = -8. Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 3.
b) $\underset{x\rightarrow1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow1^+}{lim}(x^2+1)$ = 1 + 1 = 2;
$\underset{x\rightarrow1^-}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow1^-}{lim}(-x)$ = -1;
$\underset{x\rightarrow1^+}{lim}f(x)≠\underset{x\rightarrow1^-}{lim}f(x)$, suy ra không tồn tại $\underset{x\rightarrow1}{lim}f(x)$.
Vậy hàm số f(x) không liên tục tại điểm x0 = 1.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b).
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a ; b].
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và ${\color{Blue}\underset{x\rightarrow a^+}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^-}{lim}f(x)=f(b)}$.
Nhận xét:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a ; b) sao cho f(c) = 0 (Hình 3).
Ví dụ
Xét tính liên tục của hàm số: $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên [1; 2].
Giải
• Với mọi x0 ∈ (1 ; 2), ta có:
$\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\sqrt{x-1}+\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\sqrt{2-x}$
= $\sqrt{\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(x-1)}+\sqrt{\underset{x\rightarrow x_0}{lim}(2-x)}=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}$;
$f(x_0)=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}$, suy ra $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$. Do đó hàm số f(x) liên tục trên khoảng (1 ; 2).
• Ta có, $\underset{x\rightarrow1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow1^+}{lim}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=\sqrt{\underset{x\rightarrow1^+}{lim}(x-1)}+\sqrt{\underset{x\rightarrow1^+}{lim}(2-x)}=\sqrt{1-1}+\sqrt{2-1}$ = 1;
f(1) = $\sqrt{1-1}+\sqrt{2-1}$ = 1. Do đó $\underset{x\rightarrow1^+}{lim}f(x)=f(1)$.
• Ta có, $\underset{x\rightarrow2^-}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow2^-}{lim}\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=\sqrt{\underset{x\rightarrow2^-}{lim}(x-1)}+\sqrt{\underset{x\rightarrow2^-}{lim}(2-x)}=\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}$ = 1;
f(2) = $\sqrt{2-1}+\sqrt{2-2}$ = 1. Do đó $\underset{x\rightarrow2^-}{lim}f(x)=f(2)$.
Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].
3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
• Hàm số đa thức y =P(x), các hàm số lượng giác y = sin x, y= cos x liên tục trên ℝ.
• Hàm số phân thức y = $\frac{P(x)}{Q(x)}$, hàm số căn thức y = $\sqrt{P(x)}$, các hàm số lượng giác y = tan x, y= cot x liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Ví dụ
Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$.
Giải
$y=\sqrt{x^2-4}$ là hàm số căn thức, xác định với x2 - 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 hoặc x ≤ -2.
Do đó hàm số liên tục trên các khoảng (-∞ ; -2) và (2 ; +∞).
4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x0.
• Hàm số y = $\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Ví dụ
Xét tính liên tục của hàm số:
a) $y=\sqrt{x^2+1}+3-x$;
b) $y=\frac{x^2-1}{x}.cosx$.
Giải
a) $y=\sqrt{x^2+1}+3-x$ có tập xác định là ℝ.
Các hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ và y= 3 - x liên tục trên ℝ, do đó hàm số $y=\sqrt{x^2+1}+3-x$ liên tục trên ℝ.
b) $y=\frac{x^2-1}{x}.cosx$ có tập xác định là ℝ \ { 0 }.
Hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ liên tục tại mọi điểm x ≠ 0 và y= cos x liên tục trên ℝ, do đó hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}.cosx$ liên tục trên các khoảng (-∞ ; 0) và (0 ; +∞).
Xem thêm các bài học khác :