1) Tìm các giới hạn sau:
a) lim$\frac{1}{n^2}$;
b) lim$\left(-\frac{3}{4}\right)^n$;
c) lim$\left(2+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$.
Giải
a) Áp dụng giới hạn cơ bản lim$\frac{1}{n^k}$ = 0 (với k ∈ ℕ*) cho k = 2 ta có lim$\frac{1}{n^2}$ = 0.
b) Áp dụng giới hạn cơ bản lim qn = 0 (với |q| < 1) cho q = $-\frac{3}{4}$, ta có |q| = $\left|-\frac{3}{4}\right|<1$ nên lim$\left(-\frac{3}{4}\right)^n$ = 0.
c) Đặt un = 2 + $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ ⇔ un - 2 = $\left(\frac{2}{3}\right)^n$.
lim (un - 2) = lim$\left(\frac{2}{3}\right)^n$ = 0 (vì $\left|\frac{2}{3}\right|<1$).
Vậy lim un = lim$\left(2+\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)$ = 2.
Cho lim un = a, lim vn = b và c là hằng số. Khi đó:
• lim (un + vn) = a + b
• lim (un - vn) = a - b
• lim (c . un) = c . a
• lim (un . vn) = a . b
• lim$\frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (b ≠ 0)
• Nếu un ≥ 0, ∀n ∈ ℕ* thì a ≥ 0 và lim$\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$
Tìm các giới hạn sau:
a) lim$\frac{2n^2+3n}{n^2+1}$;
b) lim$\frac{\sqrt{4n^2+3}}{n}$.
Giải
a) $lim\frac{2n^2+3n}{n^2+1}=lim\frac{2+3.\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{lim\left(2+3.\frac{1}{n}\right)}{lim\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{lim2+3lim\frac{1}{n}}{lim1+lim\frac{1}{n^2}}=\frac{2+3.0}{1+0}=2$.
b) $lim\frac{\sqrt{4n^2+3}}{n}=lim\sqrt{4+3.\frac{1}{n^2}}=\sqrt{lim\left(4+3.\frac{1}{n^2}\right)}=\sqrt{lim4+3.lim\frac{1}{n^2}}=\sqrt{4+3.0}=2$.
Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là
S = u1 + u2 +…+ un +… = $\frac{u_1}{1-q}$.
Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
$1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+…+\left(\frac{1}{3}\right)^n+…$
Giải
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = $\frac{1}{3}$ là:
$\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$
Xem thêm các bài học khác :