Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\rightarrow3}{lim}$ (2x2 - x);
b) $\underset{x\rightarrow-1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.
Giải
a) Hàm số y = 2x2 – x xác định trên ℝ.
Cho (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ với mọi n và lim xn = 3. Ta có:
lim f(xn) = lim(2xn2 - xn) = 2.(lim xn)2 - lim xn = 2.32 - 3 = 15.
Vậy $\underset{x\rightarrow3}{lim}$ (2x2 - x) = 15.
b) Hàm số $y=\frac{x^2+2x+1}{x+1}$ xác định trên ℝ \ {-1}.
Cho (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ \ {-1} với mọi n và lim xn = -1. Ta có:
lim f(xn) = lim$\frac{x_n^2+2x_n+1}{x_n+1}$ = lim$\frac{(x_n+1)^2}{x_n+1}$ = lim(xn + 1) = lim xn + lim 1 = -1 + 1 = 0.
Vậy $\underset{x\rightarrow-1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}$ = 0.
a) Cho $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}g(x)=M$. Khi đó:
• $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}$ [f(x) + g(x)] = L + M
• $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}$ [f(x) - g(x)] = L - M
• $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}$ [f(x) . g(x)] = L . M
• $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ (với M ≠ 0)
b) Nếu f(x) ≥ 0 và $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L$ thì L ≥ 0 và $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0.)
a) ${\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}x^k=x_0^k}$, k ∈ ℕ*;
b) ${\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}[cf(c)]=c.\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)}$ (c ∈ ℝ, nếu tồn tại $\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)$ ∈ ℝ).
Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\rightarrow-2}{lim}$ (x2 + 5x - 2);
b) $\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}$.
Giải
a) $\underset{x\rightarrow-2}{lim}$ (x2 + 5x - 2) = $\underset{x\rightarrow-2}{lim}(x^2)+5.\underset{x\rightarrow-2}{lim}x-\underset{x\rightarrow2}{lim}2$ = (-2)2 + 5.(-2) - 2 = -8.
b) $\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}(x+1)=\underset{x\rightarrow1}{lim}x+\underset{x\rightarrow1}{lim}1$ = 1 + 1 = 2.
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}1-2x\;khi\;x≤-1\\x^2+2\;khi\;x>-1.\end{matrix}\right.$
Tìm các giới hạn $\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow-1}{lim}f(x)$ (nếu có).
Giải
• Với x > -1 thì f(x) = x2 + 2, ta có:
$\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}x^2+2=\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}x^2+\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}2$ = (-1)2 + 2 = 3.
• Với x ≤ -1 thì f(x) = 1 - 2x, ta có:
$\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}1-2x=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}1-\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}2x$ = 1 - 2.(-1) = 3.
• Ta có: $\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x)$ = 3 nên $\underset{x\rightarrow-1}{lim}f(x)$ = 3.
Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1-3x^2}{x^2+2x}$;
b) $\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x+1}$.
Giải
a) $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1-3x^2}{x^2+2x}=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{\frac{1}{x^2}-3}{1+\frac{2}{x}}=\frac{\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1}{x^2}-\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}3}{\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}1+\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{2}{x}}=\frac{0-3}{1+0}$ = -3.
b) $\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x+1}=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x}}{\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}1+\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{1}{x}}=\frac{0}{1+0}$ = 0.
Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{2x}{x-3}$;
b) $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1)$.
Giải
a) $\underset{x\rightarrow3^-}{lim}2x$ = 2.3 = 6 ; $\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{1}{x-3}=-\infty$
Do đó $\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{2x}{x-3}=\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\left(2x.\frac{1}{x-3}\right)=-\infty$.
b) $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1)=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\left[x.\left(3-\frac{1}{x}\right)\right]$.
Ta có, $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}x=+\infty;\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\left(3-\frac{1}{x}\right)$ = 3 - 0 = 3, nên $\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1)=+\infty$.
Xem thêm các bài học khác :