Bài 2. Giới hạn của hàm số

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x0 thuộc khoảng K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \ {x0} và xn → x0, thì f(xn) → L, kí hiệu limx→x0f(x)=L{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L} hay f(x) → L khi x → x0.

Nhận xét: limx→x0x=x0;limx→x0c=c{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}x=x_0;\underset{x\rightarrow x_0}{lim}c=c} (c là hằng số).

Ví dụ

Tìm các giới hạn sau:

a) limx→3\underset{x\rightarrow3}{lim} (2x2 - x);

b) limx→−1x2+2x+1x+1\underset{x\rightarrow-1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1}.

Giải

a) Hàm số y = 2x2 – x xác định trên ℝ.

Cho (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ với mọi n và lim xn = 3. Ta có:

lim f(xn) = lim(2xn2 - xn) = 2.(lim xn)2 - lim xn = 2.32 - 3 = 15.

Vậy limx→3\underset{x\rightarrow3}{lim} (2x2 - x) = 15.

b) Hàm số y=x2+2x+1x+1y=\frac{x^2+2x+1}{x+1} xác định trên ℝ \ {-1}.

Cho (xn) là dãy số bất kì, thỏa mãn xn ∈ ℝ \ {-1} với mọi n và lim xn = -1. Ta có:

lim f(xn) = limxn2+2xn+1xn+1\frac{x_n^2+2x_n+1}{x_n+1} = lim(xn+1)2xn+1\frac{(x_n+1)^2}{x_n+1} = lim(xn + 1) = lim xn + lim 1 = -1 + 1 = 0.

Vậy limx→−1x2+2x+1x+1\underset{x\rightarrow-1}{lim}\frac{x^2+2x+1}{x+1} = 0.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho limx→x0f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L và limx→x0g(x)=M\underset{x\rightarrow x_0}{lim}g(x)=M. Khi đó:

• limx→x0\underset{x\rightarrow x_0}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M

• limx→x0\underset{x\rightarrow x_0}{lim} [f(x) - g(x)] = L - M

• limx→x0\underset{x\rightarrow x_0}{lim} [f(x) . g(x)] = L . M

• limx→x0f(x)g(x)=LM\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M} (với M ≠ 0)

b) Nếu f(x) ≥ 0 và limx→x0f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L thì L ≥ 0 và limx→x0f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}.

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0.)

Nhận xét:

a) limx→x0xk=x0k{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}x^k=x_0^k}, k ∈ ℕ*;

b) limx→x0[cf(c)]=c.limx→x0f(x){\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0}{lim}[cf(c)]=c.\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)} (c ∈ ℝ, nếu tồn tại limx→x0f(x)\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x) ∈ ℝ).

Ví dụ

Tìm các giới hạn sau:

a) limx→−2\underset{x\rightarrow-2}{lim} (x2 + 5x - 2);

b) limx→1x2−1x−1\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}.

Giải

a) limx→−2\underset{x\rightarrow-2}{lim} (x2 + 5x - 2) = limx→−2(x2)+5.limx→−2x−limx→22\underset{x\rightarrow-2}{lim}(x^2)+5.\underset{x\rightarrow-2}{lim}x-\underset{x\rightarrow2}{lim}2 = (-2)2 + 5.(-2) - 2 = -8.

b) limx→1x2−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)x−1=limx→1(x+1)=limx→1x+limx→11\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{lim}(x+1)=\underset{x\rightarrow1}{lim}x+\underset{x\rightarrow1}{lim}1 = 1 + 1 = 2.

3. Giới hạn một phía

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0 ; b).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → L, kí hiệu limx→x0+f(x)=L{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x)=L}.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; x0).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên trái là số L khi x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0 thì f(xn) → L, kí hiệu limx→x0−f(x)=L{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0^-}{lim}f(x)=L}.

Chú ý:

a) Ta thừa nhận các kết quả sau:

• limx→x0+f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x)=L và limx→x0−f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0^-}{lim}f(x)=L khi và chỉ khi limx→x0f(x)=L\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x)=L;

• Nếu limx→x0+f(x)≠limx→x0−f(x)\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x)≠\underset{x\rightarrow x_0^-}{lim}f(x) thì không tồn tại limx→x0f(x)\underset{x\rightarrow x_0}{lim}f(x).

b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi ta thay x→x0x\rightarrow x_0 bằng x→x0+x\rightarrow x_0^+ hoặc x→x0−x\rightarrow x_0^-.

Ví dụ

Cho hàm số f(x)={1−2x  khi  x≤−1x2+2  khi  x>−1.f(x)=\left\{\begin{matrix}1-2x\;khi\;x≤-1\\x^2+2\;khi\;x>-1.\end{matrix}\right.

Tìm các giới hạn limx→−1+f(x),limx→−1−f(x)\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x) và limx→−1f(x)\underset{x\rightarrow-1}{lim}f(x) (nếu có).

Giải

• Với x > -1 thì f(x) = x2 + 2, ta có:

limx→−1+f(x)=limx→−1+x2+2=limx→−1+x2+limx→−1+2\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}x^2+2=\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}x^2+\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}2 = (-1)2 + 2 = 3.

• Với x ≤ -1 thì f(x) = 1 - 2x, ta có:

limx→−1−f(x)=limx→−1−1−2x=limx→−1−1−limx→−1−2x\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}1-2x=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}1-\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}2x = 1 - 2.(-1) = 3.

• Ta có: limx→−1+f(x)=limx→−1−f(x)\underset{x\rightarrow-1^+}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-1^-}{lim}f(x) = 3 nên limx→−1f(x)\underset{x\rightarrow-1}{lim}f(x) = 3.

 

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → L, kí hiệu limx→+∞f(x)=L{\color{Blue}\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}f(x)=L} hay f(x) → L khi x → +∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞ ; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số (xn) bất kì xn < a và xn → -∞ thì f(xn) → L, kí hiệu limx→−∞f(x)=L{\color{Blue}\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=L} hay f(x) → L khi x → -∞.

Chú ý:

a) Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:

limx→±∞c=c\underset{x\rightarrow±\infty}{lim}c=c và limx→±∞cxk=0\underset{x\rightarrow±\infty}{lim}\frac{c}{x^k}=0.

b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x → x0​ bằng x → +∞​ hoặc x → -∞​.

Ví dụ

Tìm các giới hạn sau:

a) limx→+∞1−3x2x2+2x\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1-3x^2}{x^2+2x};

b) limx→−∞2x+1\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x+1}.

 Giải

a) limx→+∞1−3x2x2+2x=limx→+∞1x2−31+2x=limx→+∞1x2−limx→+∞3limx→+∞1+limx→+∞2x=0−31+0\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1-3x^2}{x^2+2x}=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{\frac{1}{x^2}-3}{1+\frac{2}{x}}=\frac{\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{1}{x^2}-\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}3}{\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}1+\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\frac{2}{x}}=\frac{0-3}{1+0} = -3.

b) limx→−∞2x+1=limx→−∞2x1+1x=limx→−∞2xlimx→−∞1+limx→−∞1x=01+0\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x+1}=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{2}{x}}{\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}1+\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\frac{1}{x}}=\frac{0}{1+0} = 0.

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0 ; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → +∞, kí hiệu limx→x0+f(x)=+∞{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x)=+\infty} hay f(x) → +∞ khi x → x0+x_0^+.

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là -∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 thì f(xn) → -∞, kí hiệu limx→x0+f(x)=−∞{\color{Blue}\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x)=-\infty} hay f(x) → -∞ khi x → x0+x_0^+.

Chú ý:

a) Các giới hạn limx→x0−f(x)=+∞,limx→x0−f(x)=−∞,limx→+∞f(x)=+∞,limx→+∞f(x)=−∞,limx→−∞f(x)=+∞,limx→−∞f(x)=−∞\underset{x\rightarrow x_0^-}{lim}f(x)=+\infty,\underset{x\rightarrow x_0^-}{lim}f(x)=-\infty,\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}f(x)=+\infty,\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}f(x)=-\infty,\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=+\infty,\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=-\infty được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

• limx→a+1x−a=+∞\underset{x\rightarrow a^+}{lim}\frac{1}{x-a}=+\infty và limx→a−1x−a=−∞\underset{x\rightarrow a^-}{lim}\frac{1}{x-a}=-\infty (a ∈ ℝ);

• limx→+∞xk=+∞\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}x^k=+\infty với k nguyên dương;

• limx→−∞xk=+∞\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}x^k=+\infty nếu k nguyên dương chẵn;

• limx→−∞xk=−∞\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}x^k=-\infty nếu k nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

limx→x0+f(x)\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}f(x) limx→x0+g(x)\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}g(x) limx→x0+[f(x).g(x)]\underset{x\rightarrow x_0^+}{lim}[f(x) . g(x)]
L > 0 +∞ +∞
-∞ -∞
L < 0 +∞ -∞
-∞ +∞

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0+x_0^+ thành x0−x_0^- (hoặc +∞, -∞).

Ví dụ

Tìm các giới hạn sau:

a) limx→3−2xx−3\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{2x}{x-3};

b) limx→+∞(3x−1)\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1).

Giải

a) limx→3−2x\underset{x\rightarrow3^-}{lim}2x = 2.3 = 6 ; limx→3−1x−3=−∞\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{1}{x-3}=-\infty

Do đó limx→3−2xx−3=limx→3−(2x.1x−3)=−∞\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\frac{2x}{x-3}=\underset{x\rightarrow3^-}{lim}\left(2x.\frac{1}{x-3}\right)=-\infty.

b) limx→+∞(3x−1)=limx→+∞[x.(3−1x)]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1)=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\left[x.\left(3-\frac{1}{x}\right)\right].

Ta có, limx→+∞x=+∞;limx→+∞(3−1x)\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}x=+\infty;\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\left(3-\frac{1}{x}\right) = 3 - 0 = 3, nên limx→+∞(3x−1)=+∞\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(3x-1)=+\infty.

Xem thêm các bài học khác :

CHƯƠNG III. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1. Giới hạn của dãy số
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Bài 3. Hàm số liên tục