Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2m, 2n, 2p theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Giải
Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên n = m + d; p = n + d.
Ta có:
2n : 2m = 2n-m = 2(m+d)-m = 2d;
2p : 2n = 2p-n = 2(n+d)-n = 2d.
Vậy ba số 2m, 2n, 2p theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q = 2d.
Nếu một cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 . qn-1, n ≥ 2.
Viết công thức số hạng tổng quát un theo số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân sau:
a) 5; 10; 20; 40; 80; …
b) $1;\frac{1}{10};\frac{1}{100};\frac{1}{1000};\frac{1}{10000}$; …
Giải
a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80 … có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = u2 : u1 = 10:5 = 2.
thì số hạng tổng quát un = u1.qn-1 = 5.2n-1.
b) Cấp số nhân $1;\frac{1}{10};\frac{1}{100};\frac{1}{1000};\frac{1}{10000}$; … có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = u2 : u1 = $\frac{1}{10}:1=\frac{1}{10}$
thì số hạng tổng quát $u_n=1.\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}$.
Giả sử (un) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un , khi đó
$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.
Chú ý: Khi q = 1 thì Sn = n . u1.
Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) trong các trường hợp sau:
a) u1 = 105; q = 0,1; n = 5;
b) u1 = 10; u2 = -20; n = 5.
Giải
a) $S_5=\frac{u_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{10^5.(1-0,1^5)}{1-0,1}$ = 11 110.
b) q = u2 : u1 = (-20) : 10 = -2.
$S_5=\frac{u_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{10.[1-(-2)^5]}{1-(-2)}$ = 110.
Xem thêm các bài học khác :