1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

un+1 = un .q với n ∈ ℕ*.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Dãy số (un) là cấp số nhân thì

$u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}$​​ với n ≥ 2.

Ví dụ

Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số 2m, 2n, 2p theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Giải

Vì m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên n = m + d; p = n + d.

Ta có:

2n : 2m = 2n-m = 2(m+d)-m = 2d;

2p : 2n = 2p-n = 2(n+d)-n = 2d.

Vậy ba số 2m, 2n, 2p theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q = 2d.

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:

un = u1 . qn-1, n ≥ 2.

Ví dụ

Viết công thức số hạng tổng quát un theo số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80; …

b) $1;\frac{1}{10};\frac{1}{100};\frac{1}{1000};\frac{1}{10000}$; …

Giải

a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80 … có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = u2 : u1 = 10:5 = 2.

thì số hạng tổng quát un = u1.qn-1 = 5.2n-1.

b) Cấp số nhân $1;\frac{1}{10};\frac{1}{100};\frac{1}{1000};\frac{1}{10000}$; … có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = u2 : u1 = $\frac{1}{10}:1=\frac{1}{10}$

thì số hạng tổng quát $u_n=1.\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{10}\right)^{n-1}$.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Giả sử (un) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un , khi đó

$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$.

Chú ý: Khi q = 1 thì Sn = n . u1.

Ví dụ

Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un) trong các trường hợp sau:

a) u1 = 105; q = 0,1; n = 5;

b) u1 = 10; u2 = -20; n = 5.

Giải

a) $S_5=\frac{u_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{10^5.(1-0,1^5)}{1-0,1}$ = 11 110.

b) q = u2 : u1 = (-20) : 10 = -2.

$S_5=\frac{u_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{10.[1-(-2)^5]}{1-(-2)}$ = 110.


Xem thêm các bài học khác :

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

Bài 1. Dãy số
Bài 2. Cấp số cộng
Bài 3. Cấp số nhân