Cho dãy số:
u: ℕ* → ℝ
n ↦ un = n3.
a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.
b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
Giải
a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.
b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
u1 = u(1) = 13 = 1;
u2 = u(2) = 23 = 8;
u3 = u(3) = 33 = 27;
u4 = u(4) = 43 = 64;
u5 = u(5) = 53 = 125.
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát un.
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
• Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
• Cho một công thức tính un theo un-1 (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Cho dãy số (un) xác định bởi:
$\left\{\begin{matrix}u_1=3\\u_{n+1}=2u_n (n≥1).\end{matrix}\right.$
a) Chứng minh u2 = 2.3; u3 = 22.3; u4 = 23.3.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (un).
Giải
a) Ta có:
• u2 = 2.u1 = 2.3.
• u3 = 2.u2 = 2.(2.3) = 22. 3.
• u4 = 2.u3 = 2.(22.3) = 23. 3.
b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (un) là un = 2n-1.3.
Cho dãy số (un).
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un , ∀n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un , ∀n ∈ ℕ*.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) (un) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$;
b) (xn) với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$;
c) (tn) với tn = (-1)n.n2.
Giải
a) $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$.
Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{3}{(n+2)(n+1)}$ > 0, ∀n ∈ ℕ*.
Do đó, un+1 > un , ∀n ∈ ℕ*. Vậy (un) là dãy số tăng.
b) $x_{n+1}=\frac{(n+1)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{4.4^n}$.
Ta có $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{4.4^n}-\frac{n+2}{4^n}=\frac{-3n-1}{4.4^n}$ < 0, ∀n ∈ ℕ*.
Do đó, xn+1 < xn , ∀n ∈ ℕ*. Vậy (xn) là dãy số giảm.
c) Ta có: t1 = (-1)1.12 = -1; t2 = (-1)2.22 = 4; t3 = (-1)3.32 = -9.
Do đó, t1 < t2 , t2 > t3. Vậy (tn) không là dãy số tăng cũng không là dãy số giảm.
• Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.
• Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m, ∀n ∈ ℕ*.
• Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) (an) với an = cos$\frac{π}{n}$;
b) (bn) với bn = $\frac{n}{n+1}$.
Giải
a) Vì -1 ≤ cos$\frac{π}{n}$ ≤ 1, ∀n ∈ ℕ*.
Do đó (an) bị chặn trên và bị chặn dưới. Vậy dãy số (an) bị chặn.
b) bn = $\frac{n}{n+1}$ > 0, ∀n ∈ ℕ* nên (bn) bị chặn dưới.
bn = $\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$ < 1, ∀n ∈ ℕ* nên (bn) bị chặn trên.
Vậy dãy số (bn) bị chặn.
Xem thêm các bài học khác :