1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:

un+1 = un + d với n ∈ ℕ*.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nhận xét: Nếu (un) là cấp số cộng thì

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ (k ≥ 2).

Ví dụ

Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (un) với un = 9n – 9.

c) Dãy số (vn) với vn = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

Giải

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 có đặc điểm là un+1 = un + 4 với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} nên nó là cấp số cộng có công sai d = 4.

b) un+1 = 9(n + 1) – 9 = (9n – 9) + 9 = un + 9, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) là cấp số cộng có công sai d = 9.

c) vn+1 = a(n + 1) + b = an + a + b = (an + b) + a = vn + a, ∀n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (vn) là cấp số cộng có công sai d = a.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n - 1)d, n ≥ 2.

Ví dụ

Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) có c4 = 80 và c6 = 40.

Giải

c4 = c1 + 3d = 80 và c6 = c1 + 5d = 40. Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}c_1=140\\d=-20.\end{matrix}\right.$

Ta có: cn = c1 + (n - 1)d = 140 + (n - 1).(-20) = -20n + 160.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) là: cn = 20n + 160.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Giả sử (un) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un , khi đó

$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$

hay $S_n=\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$.

Ví dụ

Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.

Giải

Số tự nhiên chẵn lập thành một cấp số cộng, có u1 = 0, công sai d = 2.

Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:

$S_{50}=\frac{50(2u_1+49d)}{2}=\frac{50(2.0+49.2)}{2}$ = 2450.


Xem thêm các bài học khác :

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

Bài 1. Dãy số
Bài 2. Cấp số cộng
Bài 3. Cấp số nhân