Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.
a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.
b) Dãy số (un) với un = 9n – 9.
c) Dãy số (vn) với vn = an + b, trong đó a và b là các hằng số.
Giải
a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 có đặc điểm là un+1 = un + 4 với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} nên nó là cấp số cộng có công sai d = 4.
b) un+1 = 9(n + 1) – 9 = (9n – 9) + 9 = un + 9, ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) là cấp số cộng có công sai d = 9.
c) vn+1 = a(n + 1) + b = an + a + b = (an + b) + a = vn + a, ∀n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (vn) là cấp số cộng có công sai d = a.
Nếu một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n - 1)d, n ≥ 2.
Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) có c4 = 80 và c6 = 40.
Giải
c4 = c1 + 3d = 80 và c6 = c1 + 5d = 40. Ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}c_1+3d=80\\c_1+5d=40\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}c_1=140\\d=-20.\end{matrix}\right.$
Ta có: cn = c1 + (n - 1)d = 140 + (n - 1).(-20) = -20n + 160.
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (cn) là: cn = 20n + 160.
Giả sử (un) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + … + un , khi đó
$S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$
hay $S_n=\frac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$.
Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.
Giải
Số tự nhiên chẵn lập thành một cấp số cộng, có u1 = 0, công sai d = 2.
Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:
$S_{50}=\frac{50(2u_1+49d)}{2}=\frac{50(2.0+49.2)}{2}$ = 2450.
Xem thêm các bài học khác :