Hợp và giao của các tập hợp.
Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con.
Cho hai tập hợp A và B.
• Tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B gọi là hợp của hai tập hợp A và B
, kí hiệu A ∪ B
.
A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B }.
Tập hợp A ∪ B được minh họa bởi Hình 2a.
• Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B
, kí hiệu A ∩ B
.
A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }.
Tập hợp A ∩ B được minh họa bởi Hình 2b.
Nhận xét:
• Nếu A và B không có phần tử chung thì A ∩ B = ∅.
• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).
1) Xác định tập hợp A ∪ B và A ∩ B, biết:
a) A = {a; b; c; d; e}, B = {a; e; i; u};
b) A = {x ∈ ℝ | x2 + 2x – 3 = 0}, B = {x ∈ ℝ | |x| = 1}.
Giải
a) A ∪ B = {a; b; c; d; e; i; u}.
A ∩ B = {a; e}.
b) Phương trình x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -3. Do đó, A = {-3; 1}.
Phương trình |x| = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1. Do đó, B = {1; -1}.
Vậy A ∪ B = {-3; 1; -1} và A ∩ B = { 1 }.
2) Cho A = { (x; y) | x, y ∈ ℝ, 3x – y = 9}, B = { (x; y) | x, y ∈ ℝ, x – y = 1}. Hãy xác định A ∩ B.
Giải
Ta có: A ∩ B = {(x; y) | x, y ∈ ℝ, 3x – y = 9 và x – y = 1}.
Hệ $\left\{\begin{matrix}3x-y=9\\x-y=1\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.$
Vậy A ∩ B = { (4; 3) }.
Cho hai tập hợp A và B.
• Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B
, kí hiệu A\B
.
A \ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }.
Tập hợp A \ B được minh họa bởi phần tô màu xanh lá trong Hình 4a.
• Nếu A là tập con của E. thì E \ A gọi là phần bù của A trong E
, kí hiệu CEA
.
Tập hợp CEA được minh họa bởi phần tô màu xanh dương trong Hình 4b.
Cho các tập hợp E = {x ∈ ℕ | x < 8}, A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}. Xác định các tập hợp sau đây:
a) A \ B, B \ A và (A \ B) ∩ (B \ A); b) CE(A ∩ B) và (CEA) ∪ (CEB);
c) CE(A ∪ B) và (CEA) ∩ (CEB).
Giải
Ta có: E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
a) A \ B = {0; 1; 2} và B \ A = { 5 } ⇒ (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅.
b) • A ∩ B = {3; 4}. CE(A ∩ B) = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.
• CEA = {5; 6; 7} và CEB = {0; 1; 2; 6; 7} ⇒ (CEA) ∪ (CEB) = {0; 1; 2; 3; 5; 6; 7}.
c) A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.
• CE(A ∪ B) = {6; 7}.
• CEA = {5; 6; 7} và CEB = {0; 1; 2; 6; 7} ⇒ (CEA) ∩ (CEB) = {6; 7}.
Xem thêm các bài học khác :