Bài 3. Các phép toán trên tập hợp

Chương 1. Mệnh đề và tập hợp

Hợp và giao của các tập hợp.

Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con.

1. Hợp và giao của các tập hợp

Cho hai tập hợp A và B.

• Tập hợp các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B.

A ∪ B = { x |  x ∈ A hoặc x ∈ B }.

Tập hợp A ∪ B được minh họa bởi Hình 2a.

• Tập hợp các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B.

A ∩ B = { x |  x ∈ A và x ∈ B }.

Tập hợp A ∩ B được minh họa bởi Hình 2b.

b) A ∩ B a) A ∪ B A B A B Hình 2

Nhận xét:

• Nếu A và B không có phần tử chung thì A ∩ B =  ∅.

• Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B).

Ví dụ

1) Xác định tập hợp A ∪ B và A ∩ B, biết:

a) A = {a; b; c; d; e}, B = {a; e; i; u};

b) A = {x ∈ ℝ | x2 + 2x – 3 = 0}, B = {x ∈ ℝ | |x| = 1}.

Giải

a) A ∪ B = {a; b; c; d; e; i; u}.

A ∩ B = {a; e}.

b) Phương trình x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -3. Do đó, A = {-3; 1}.

Phương trình |x| = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1. Do đó, B = {1; -1}.

Vậy A ∪ B = {-3; 1; -1} và A ∩ B = { 1 }.

 

2) Cho A = { (x; y) | x, y ∈ ℝ, 3x – y = 9}, B =  { (x; y) | x, y ∈ ℝ, x – y = 1}. Hãy xác định A ∩ B.

Giải

Ta có: A ∩ B = {(x; y) | x, y ∈ ℝ, 3x – y = 9  và x – y = 1}.

Hệ $\left\{\begin{matrix}3x-y=9\\x-y=1\end{matrix}\right.⇔\left\{\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.$

Vậy A ∩ B = { (4; 3) }.

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

Cho hai tập hợp A và B.

• Tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

A \ B = { x |  x ∈ A và x ∈ B }.

Tập hợp A \ B được minh họa bởi phần tô màu xanh lá trong Hình 4a.

• Nếu A là tập con của E. thì E \ A gọi là phần bù của A trong E, kí hiệu CEA.

Tập hợp CEA được minh họa bởi phần tô màu xanh dương trong Hình 4b.

Hình 4 a) A A B A \ B E C A E b)

Ví dụ

Cho các tập hợp E = {x ∈ ℕ | x < 8}, A = {0; 1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}. Xác định các tập hợp sau đây:

a) A \ B, B \ A và (A \ B) ∩ (B \ A);   b) CE(A ∩ B) và (CEA) ∪ (CEB);

c)  CE(A ∪ B) và (CEA) ∩ (CEB).

Giải

Ta có: E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

a) A \ B = {0; 1; 2} và B \ A = { 5 } ⇒ (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅.

b) • A ∩ B = {3; 4}.   CE(A ∩ B) = {0; 1; 2; 5; 6; 7}.

• CEA = {5; 6; 7} và CEB = {0; 1; 2; 6; 7} ⇒ (CEA) ∪ (CEB) = {0; 1; 2; 3; 5; 6; 7}.

c) A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

• CE(A ∪ B) = {6; 7}.

• CEA = {5; 6; 7} và CEB = {0; 1; 2; 6; 7} ⇒ (CEA) ∩ (CEB) = {6; 7}.


Xem thêm các bài học khác :

Chương 1. Mệnh đề và tập hợp

Bài 1. Mệnh đề
Bài 2. Tập hợp
Bài 3. Các phép toán trên tập hợp
Ôn tập chương 1. Mệnh đề và tập hợp