Bài 1. Mệnh đề

1) Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) $\sqrt{2}$ là số vô tỉ;    b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{10}}$ > 2;

c) 100 tỉ là số rất lớn;    d) Trời hôm nay đẹp quá!

Giải

a) $\sqrt{2}$ là số vô tỉ là một mệnh đề vì nó là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

a) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{10}}$ > 2 là một mệnh đề vì nó là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

c) "100 tỉ là số rất lớn" không phải là một mệnh đề vì nó là một khẳng định không thể xác định được là đúng hoặc sai.

d) “Trời hôm nay đẹp quá!” không phải là một mệnh đề vì nó là một câu cảm thán không có tính đúng hoặc sai.

2) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới;

b) $\sqrt{(-5)^2}$ = -5;

c) 5² + 12² = 13².

Giải

a) UNESCO công nhận Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới nên mệnh đề ở câu a) là mệnh đề đúng.

b) $\sqrt{(-5)^2}$ = -5 là mệnh đề sai vì $\sqrt{(-5)^2}$ = 5 (≠ -5).

c) 5² + 12² = 13² (= 169) nên 5² + 12² = 13² là mệnh đề đúng.

Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Q(x): “x² + 1 > 0”;   R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

Giải

• Với x = 1 ta được: Q(1): “1² + 1 > 0” là một mệnh đề đúng.

Vì x² ≥ 0 với mọi số thực x nên x² + 1 > 0 với mọi số thực x. Vậy không có giá trị nào của x để Q(x) là một mệnh đề sai.

• Với n = 1 ta được R(1): “1 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.

Với n = 2 ta được R(2): “2 + 2 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) P: "Paris là thủ đô của nước Anh";

b) Q: "23 là số nguyên tố";

c) R: "2 021 chia hết cho 3";

d) S: "Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm".

Giải

a) $\overline{P}$: "Paris không phải là thủ đô của nước Anh".

Thủ đô của nước Anh là London. Do đó, P là mệnh đề sai và $\overline{P}$ là mệnh đề đúng.

b) $\overline{Q}$: "23 không phải là số nguyên tố".

23 là số nguyên tố. Do đó Q là mệnh đề đúng và $\overline{Q}$ là mệnh đề sai.

c) $\overline{R}$: "2 021 không chia hết cho 3";

Ta có: 2 + 0 + 2 + 1 = 5 ⋮̸ 3 nên 2 021 ⋮̸ 3. Do đó R là mệnh đề sai và $\overline{R}$ là mệnh đề đúng.

d) $\overline{S}$: "Phương trình x² – 3x + 4 = 0 có nghiệm".

Phương trình x² – 3x + 4 = 0 có ∆ = (-3)² – 4.1.4 = 9 – 16 = -7 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy S là mệnh đề đúng và $\overline{S}$ là mệnh đề sai.

Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”;

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Mệnh đề P ⇒ Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Giải

a) P ⇒ Q: “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

b) P ⇒ Q là mệnh đề đúng nên P ⇒ Q là một định lí. Phát biểu định lí:

Cách 1: "Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau".

Cách 2: "Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau".

Xét hai mệnh đề:

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q theo hai cách khác nhau.

Giải

a) • P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

• Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là là hình vuông”.

b) P ⇒ Q đúng và Q ⇒ P đúng nên P ⇔ Q. Phát biểu định lí P ⇔ Q:

Cách 1: “Tứ giác ABCD là hình vuông là điểu kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Cách 2: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

1) Sử dụng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0;

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Giải

a) "∀x ∈ ℝ, x + (−x) = 0";

b) "∃x ∈ ℕ, x² = 9".

2) Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) ∀x ∈ ℝ, x² > 0;   b) ∃x ∈ ℝ, x² = 5x − 4;   c) ∃x ∈ ℤ, 2x + 1 = 0.

Giải

Mệnh đề có dạng "∀x ∈ M, P(x)" hoặc "∃x ∈ M, P(x)".

a) Với x = 0 thì P(0): "0² > 0" là mệnh đề sai. Vậy "∀x ∈ ℝ, x² > 0" là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ ℝ, x² > 0" là "∃x ∈ ℝ, x² ≤ 0".

b) Phương trình x² = 5x − 4 ⇔ x = 1 hoặc x = 4.

Do đó, với x = 1 thì P(1): "1² = 5.1 − 4" là mệnh đề đúng. Vậy "∃x ∈ ℝ, x² = 5x − 4" là mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ ℝ, x² = 5x − 4" là "∀x ∈ ℝ, x² ≠ 5x − 4".

c) Phương trình 2x + 1 = 0 ⇔ x = $-\frac{1}{2}$.

Do đó, ta không có giá trị nguyên x₀ nào để P(x₀): "2x₀ + 1 = 0". Vậy "∃x ∈ ℤ, 2x + 1 = 0" là mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ ℤ, 2x + 1 = 0" là "∀x ∈ ℤ, 2x + 1 ≠ 0".