Bài 2. Tập hợp

1) Tập hợp các số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; … }.

Ta có: 4 ∈ ℕ, 100 ∈ ℕ, -1 ∉ ℕ, 1,5 ∉ ℕ.

2) Viết các tập hợp sau đây dưới dạng liệt kê các phần tử và tìm số phần tử của mỗi tập hợp đó:

a) Tập hợp A gồm các số tự nhiên là ước của 24;

b) Tập hợp B gồm các chữ số trong số 1 113 305;

c) C = {n ∈ ℕ | n là bội của 5 và n ≤ 30};

d) D = {x ∈ ℝ | x² – 2x + 3 = 0}.

Giải

a) A = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.  n(A) = 8 (phần tử).

b) B = {1; 3; 0; 5}.  n(B) = 4 (phần tử).

c) C = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30}.  n(C) = 7 (phần tử).

d) Phương trình x² – 2x + 3 = 0, có ∆’ = (-1)² – 1. 3 = -2 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy D = ∅.  n(D) = 0 (phần tử).

3) Viết các tập hợp sau đây dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử:

a) A = {1; 3; 5; …; 15};

b) B = {0; 5; 10; 15; 20; …};

c) Tập hợp C các nghiệm của bất phương trình 2x + 5 > 0.

Giải

a) A = {x ∈ ℕ | x lẻ và x ≤ 15}.

b) B = {x ∈ ℕ | x là bội của 5}.

c) 2x + 5 > 0 ⇔ x > $\frac{-5}{2}$. Vậy C = { x ∈ ℝ | x > $\frac{-5}{2}$ }.

1) Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Chúng có bằng nhau không?

a) A = {$-\sqrt{3};\sqrt{3}$} và B = {x ∈ ℝ | x² – 3 = 0};

b) C là tập hợp các tam giác đều và D là tập hợp các tam giác cân;

c) E = {x ∈ ℕ | x là ước của 12} và F = {x ∈ ℕ | x là ước của 24}.

Giải

a) Phương trình x² – 3 = 0 ⇔ x = $\sqrt{3}$ hoặc x = $-\sqrt{3}$. Do đó, B = {$\sqrt{3};-\sqrt{3}$}

Ta có: với x ∈ A thì x ∈ B nên A ⊂ B. Với x ∈ B thì x ∈ A nên B ⊂ A. Suy ra A = B.

b) Ta có một tam giác đều cũng là một tam giác cân.

Suy ra: với x ∈ C thì x ∈ D nên C ⊂ D.

Một tam giác cân không phải là đều kiện đủ để là một tam giác đều nên D ⊄ C. Do đó C và D không bằng nhau.

c) Ta có: E = {1; 2; 3; 4; 6; 12},  F = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Ta thấy, với x ∈ E thì x ∈ F nên E ⊂  F.

8 ∈ F nhưng 8 ∉ E nên F ⊄ E. Do đó, E và F không bằng nhau.

2) Viết tất cả các tập con của tập hợp A = {a; b}.

Giải

Các tập hợp con của A là: ∅, {a}, {b}, {a; b}.

Dùng các kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết các tập hợp sau đây:

a) {x ∈ ℝ | -2 < x < 3};   b) {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 10};   c) {x ∈ ℝ | -5 < x ≤ $\sqrt{3}$ };

d) {x ∈ ℝ | π ≤ x < 4};   e) {x ∈ ℝ | x < $\frac{1}{4}$ };   g) {x ∈ ℝ | x ≥ $\frac{π}{2}$ }.

Giải

a) Tập hợp {x ∈ ℝ | -2 < x < 3} là khoảng (-2 ; 3).

b) Tập hợp {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 10} là đoạn [1 ; 10].

c) Tập hợp {x ∈ ℝ | -5 < x ≤ $\sqrt{3}$ } là nửa khoảng (-5 ; $\sqrt{3}$].

d) Tập hợp {x ∈ ℝ | π ≤ x < 4} là nửa khoảng [π ; 4).

e) Tập hợp {x ∈ ℝ | x < $\frac{1}{4}$ } là khoảng (−∞ ; $\frac{1}{4}$).

g) Tập hợp {x ∈ ℝ | x ≥ $\frac{π}{2}$ } là nửa khoảng [$\frac{π}{2}$ ; +∞).