Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3) và số thực k. Khi đó:

• a→+b→=(a1+b1;a2+b2;a3+b3){\color{Blue}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)};

• a→−b→=(a1−b1;a2−b2;a3−b3){\color{Blue}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)};

• ka→=(ka1;ka2;ka3){\color{Blue}k\overrightarrow{a}=(ka_1;ka_2;ka_3)}.

Nhận xét: Cho a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3),  b→≠0→\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3),\;\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}. a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho {a1=kb1a2=kb2a3=kb3.{\color{Blue}\left\{\begin{matrix}a_1=kb_1\\a_2=kb_2\\a_3=kb_3.\end{matrix}\right.}

Ví dụ

Cho ba vectơ a→=(2;−5;3),  b→=(0;2;−1),  c→=(1;7;2)\overrightarrow{a}=(2;-5;3),\;\overrightarrow{b}=(0;2;-1),\;\overrightarrow{c}=(1;7;2).

a) Tìm tọa độ của vectơ e→=a→−4b→−2c→\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}.

b) Chứng minh vectơ a→\overrightarrow{a} cùng phương với vectơ m→\overrightarrow{m} = (-6; 15; -9).

Giải

a) Ta có −4b→-4\overrightarrow{b} = (-4.0; -4.2; -4. -1) = (0; -8; 4), −2c→-2\overrightarrow{c} = (-2.1; -2.7; -2.2) = (-2; -14; -4),

nên e→=a→−4b→−2c→\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c} = (2+0-2; -5-8-14; 3+4-4) = (0; -27; 3).

b) m→\overrightarrow{m} = (-6; 15; -9) = (-3.2; -3. -5; -3.3) = −3a→-3\overrightarrow{a}.

Vậy a→\overrightarrow{a} cùng phương với m→\overrightarrow{m}.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a→=(a1​;a2​;a3​)\overrightarrow{a}=(a_1​;a_2​;a_3​) và b→=(b1​;b2​;b3​)\overrightarrow{b}=(b_1​;b_2​;b_3​) được xác định bởi công thức

a→.b→=a1​.b1​+a2​.b2+a3.b3{\color{Blue}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1​.b_1​+a_2​.b_2+a_3.b_3}.

Nhận xét:

a) a→⊥b→⇔a1​.b1​+a2​.b2+a3.b3=0{\color{Blue}\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1​.b_1​+a_2​.b_2+a_3.b_3=0} (a→,  b→\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0});

b) ∣a→∣=a1​2​+a2​2+a32{\color{Blue}|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}​^{2}​+a_{2}​^{2}+a_3^{2}}};

c) cos⁡(a→,b→)=a→.b→∣a→∣.∣b→∣=a1​.b1​+a2​.b2+a3.b3a1​2​+a2​2+a32.b1​2​+b2​2+b32{\color{Blue}\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_1​.b_1​+a_2​.b_2+a_3.b_3}{\sqrt{a_1​^{2}​+a_2​^{2}+a_3^{2}}.\sqrt{b_1​^{2}​+b_2​^{2}+b_3^{2}}}} (a→,  b→\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0}).

Vận dụng

Xác định tọa độ của vectơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA​;yA​;zA​),B(xB​;yB;zB​)A(x_A​;y_A​;z_A​),B(x_B​;y_B;z_B​). Ta có:

AB→=(xB​−xA​;yB−yA​;zB−zA​){\color{Blue}\overrightarrow{AB}=(x_B​-x_A​;y_B-y_A​;z_B-z_A​)}.

Nhận xét: AB=∣AB→∣=(xB​−xA​)2+(yB−yA)2​+(zB−zA​)2{\color{Blue}AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B​-x_A​)^2+(y_B-y_A)^2​+(z_B-z_A​)^2}}.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(xA​;yA​;zA​),  B(xB​;yB;zB​)A(x_A​;y_A​;z_A​),\;B(x_B​;y_B;z_B​). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

M=(xA​+xB2​;yA​+yB2​;zA​+zB2​){\color{Blue}M=\left(\frac{x_A​+x_B}{2}​;\frac{y_A​+y_B}{2}​;\frac{z_A​+z_B}{2}​\right)}.

• Cho tam giác ABC có A(xA​;yA​;zA​),  B(xB​;yB;zB​),  C(xC​;yC;zC​)A(x_A​;y_A​;z_A​),\;B(x_B​;y_B;z_B​),\;C(x_C​;y_C;z_C​). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

G=(xA​+xB+xC3​;yA​+yB+yC3​;zA​+zB+zC3​){\color{Blue}G=\left(\frac{x_A​+x_B+x_C}{3}​;\frac{y_A​+y_B+y_C}{3}​;\frac{z_A​+z_B+z_C}{3}​\right)}.

Ví dụ

1) Cho hai vectơ m→=(−5;4;9),  n→=(2;−7;0)\overrightarrow{m}=(-5;4;9),\;\overrightarrow{n}=(2;-7;0).

Tính m→.n→,  ∣m→∣,  ∣n→∣,  cos⁡(m→,n→)\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\;|\overrightarrow{m}|,\;|\overrightarrow{n}|,\;\cos(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}).

Giải

• m→.n→\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n} = (-5).2 + 4.(-7) + 9.0 = -38;

• ∣m→∣=(−5)2+42+92=122;  ∣n→∣=22+(−7)2+02=53|\overrightarrow{m}|=\sqrt{(-5)^2+4^2+9^2}=\sqrt{122};\;|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}=\sqrt{53};

• cos⁡(m→,n→)=m→.n→∣m→∣.∣n→∣=−38122.53=−1964663233\cos(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})=\frac{\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{-38}{\sqrt{122}.\sqrt{53}}=\frac{-19\sqrt{6466}}{3233}.

 

2) Cho hai điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4). Tìm tọa độ của vectơ MN→\overrightarrow{MN}, tính độ dài MN.

Giải

• MN→\overrightarrow{MN} = (-9 − 7; 0 − (-2); 4 − 0) = (-16; 2; 4);

• MN = ∣MN→∣=(−16)2+22+42=269|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{(-16)^2+2^2+4^2}=2\sqrt{69}.

Xem thêm các bài học khác :

Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian
Bài 2. Tọa độ của vectơ trong không gian
Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ