Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ và số thực k. Khi đó:
• ${\color{Blue}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3)}$;
• ${\color{Blue}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3)}$;
• ${\color{Blue}k\overrightarrow{a}=(ka_1;ka_2;ka_3)}$.
Nhận xét: Cho $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3),\;\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho ${\color{Blue}\left\{\begin{matrix}a_1=kb_1\\a_2=kb_2\\a_3=kb_3.\end{matrix}\right.}$
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=(2;-5;3),\;\overrightarrow{b}=(0;2;-1),\;\overrightarrow{c}=(1;7;2)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$.
b) Chứng minh vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{m}$ = (-6; 15; -9).
Giải
a) Ta có $-4\overrightarrow{b}$ = (-4.0; -4.2; -4. -1) = (0; -8; 4), $-2\overrightarrow{c}$ = (-2.1; -2.7; -2.2) = (-2; -14; -4),
nên $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ = (2+0-2; -5-8-14; 3+4-4) = (0; -27; 3).
b) $\overrightarrow{m}$ = (-6; 15; -9) = (-3.2; -3. -5; -3.3) = $-3\overrightarrow{a}$.
Vậy $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{m}$.
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$ được xác định bởi công thức
${\color{Blue}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3}$.
a) ${\color{Blue}\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3=0}$ ($\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$);
b) ${\color{Blue}|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_3^{2}}}$;
c) ${\color{Blue}\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3}{\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.\sqrt{b_1^{2}+b_2^{2}+b_3^{2}}}}$ ($\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B)$. Ta có:
${\color{Blue}\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)}$.
Nhận xét: ${\color{Blue}AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}}$.
• Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A),\;B(x_B;y_B;z_B)$. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
${\color{Blue}M=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)}$.
• Cho tam giác ABC có $A(x_A;y_A;z_A),\;B(x_B;y_B;z_B),\;C(x_C;y_C;z_C)$. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
${\color{Blue}G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)}$.
1) Cho hai vectơ $\overrightarrow{m}=(-5;4;9),\;\overrightarrow{n}=(2;-7;0)$.
Tính $\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\;|\overrightarrow{m}|,\;|\overrightarrow{n}|,\;\cos(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})$.
Giải
• $\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}$ = (-5).2 + 4.(-7) + 9.0 = -38;
• $|\overrightarrow{m}|=\sqrt{(-5)^2+4^2+9^2}=\sqrt{122};\;|\overrightarrow{n}|=\sqrt{2^2+(-7)^2+0^2}=\sqrt{53}$;
• $\cos(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n})=\frac{\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{-38}{\sqrt{122}.\sqrt{53}}=\frac{-19\sqrt{6466}}{3233}$.
2) Cho hai điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4). Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, tính độ dài MN.
Giải
• $\overrightarrow{MN}$ = (-9 − 7; 0 − (-2); 4 − 0) = (-16; 2; 4);
• MN = $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{(-16)^2+2^2+4^2}=2\sqrt{69}$.
Xem thêm các bài học khác :