Bài 2. Tọa độ của vectơ trong không gian
Chương II. VECTƠ VÀ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ trong không gian
Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi $\overrightarrow{i},\;\overrightarrow{j},\;\overrightarrow{k}$ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian (hay hệ tọa độ Oxyz). (Hình 2)
Nhận xét:
a) Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Các trục Ox, Oy, Oz gọi là các trục tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi là không gian Oxyz.
b) Vì $\overrightarrow{i},\;\overrightarrow{j},\;\overrightarrow{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có
${\color{Blue}\overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2=1}$ và ${\color{Blue}\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0}$.
2. Tọa độ của điểm và vectơ
Tọa độ của điểm
Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu ${\color{Blue}\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}}$ thì ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. (Hình 7)
Tọa độ của vectơ
Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Nếu ${\color{Blue}\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}}$ thì ta gọi bộ ba số (a1; a2; a3) là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết ${\color{Blue}\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)}$ hoặc ${\color{Blue}\overrightarrow{a}(a_1;a_2;a_3)}$.
Nhận xét: Trong không gian Oxyz, ta có:
• Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, tức là
M = (x; y; z) ⇔ $\overrightarrow{OM}$ = (x; y; z).
• Cho $\overrightarrow{a}=(x;y;z),\overrightarrow{b}=(x';y';z')$. Khi đó:
${\color{Blue}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=x'\\y=y'\\z=z'.\end{matrix}\right.}$
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng 3 (Hình 11).
a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.
b) Trong hệ tọa độ nói trên, tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB},\;\overrightarrow{AD},\;\overrightarrow{AS},\;\overrightarrow{AM}$ với M là trung điểm của cạnh SC.
Giải
a) Ba vectơ đơn vị trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là:
$\overrightarrow{i}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB},\;\overrightarrow{j}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\;\overrightarrow{k}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}$.
b) Trong hệ tọa độ Oxyz,
• $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\Rightarrow\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$;
• $\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=(0;2;0)$;
• $\overrightarrow{AS}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}\Rightarrow\overrightarrow{AS}=(0;0;3)$;
• M là trung điểm của SC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS})$,
mà $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (vì ABCD là hình vuông),
suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AS})$ =
= $\frac{1}{2}(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k})=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\frac{3}{2}\overrightarrow{k}$.
Vậy $\overrightarrow{AM}=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)$.
Xem thêm các bài học khác :