Bài 2. Định lí côsin và định lí sin

Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA;

b2 = c2 + a2 - 2ca cosB;

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC.

Hệ quả

cos A = b2+c2−a22bc\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};

cos B = c2+a2−b22ca\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};

cos C = a2+b2−c22ab\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Ví dụ

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.

Hình 4 A B C 62° 14 18

Giải

Theo định lý côsin cho ∆ABC, ta có:

BC2 =  AB2 +  AC2 – 2AB.AC.cosA   = 142 +  182 – 2.14.18. cos62° ≈ 283,4.

⇒ BC ≈ 283,4\sqrt{283,4} ≈ 16,8.

Theo hệ quả của định lí côsin cho ∆ABC, ta có:

cosB = AB2+BC2−AC22.AB.BC=142+16,82−1822.14.16,8\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}=\frac{14^2+16,8^2−18^2}{2.14.16,8} ≈ 0,328.

⇒ B^\widehat{B} ≈ 71°, C^=180°−(A^+B^)\widehat{C}=180°-(\widehat{A}+\widehat{B}) ≈ 180° - (62° + 71°) = 47°.

2. Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

asinA=bsinB=csinC=2R\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R,

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hệ quả

a = 2RsinA;  b = 2RsinB;  c = 2RsinC;

sinA = a2R\frac{a}{2R};  sinB = b2R\frac{b}{2R};  sinC = c2R\frac{c}{2R}.

Ví dụ

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Hình 8 M N P 112° 22 34°

Giải

Trong ∆MNP, ta có:

P^=180°−(M^+N^)\widehat{P}=180°-(\widehat{M}+\widehat{N}) = 180° - (34° + 112°) = 34°.

M^=P^\widehat{M}=\widehat{P} = 34° nên ∆MNP cân tại N ⇒ Do đó MN = NP = 22.

Theo định lí sin, ta có: MPsinN=NPsinM\frac{MP}{sinN}=\frac{NP}{sinM}

⇒ MP = NP.sinNsinM=22.sin112°sin34°\frac{NP.sinN}{sinM}=\frac{22.sin112°}{sin34°} ≈ 36,5.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

• a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.

• ha, hb, hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

• p là nửa chu vi tam giác.

• S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

1) S = 12\frac{1}{2}aha = 12\frac{1}{2}bhb = 12\frac{1}{2}chc;

2) S = 12\frac{1}{2}ab sinC = 12\frac{1}{2}bc sinA = 12\frac{1}{2}ac sinB;

3) S = abc4R\frac{abc}{4R};

4) S = pr;

5) S = p(p−a)(p−b)(p−c)\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} (công thức Heron).

Ví dụ

Cho tam giác ABC có b = 14, c = 35 và A^\widehat{A} = 60°. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải

• S = 12\frac{1}{2}bc sinA =12\frac{1}{2}.14.35. sin 60° ≈ 212,2.

• Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA = 142 + 352 – 2.14.35.cos60° = 931

⇒ a = 931\sqrt{931}.

Áp dụng định lí sin ta có: asinA\frac{a}{sinA} = 2R ⇒ R = a2.sinA=9312.sin60°\frac{a}{2.sinA}=\frac{\sqrt{931}}{2.sin60°} ≈17,6.

Vậy diện tích ∆ABC gần bằng 212,2 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC gần bằng 17,6 (đơn vị độ dài).

Xem thêm các bài học khác :

Chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Bài 2. Định lí côsin và định lí sin
Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Ôn tập chương 4. Hệ thức lượng trong tam giác