Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA;
b2 = c2 + a2 - 2ca cosB;
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC.
cos A = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;
cos B = $\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$;
cos C = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4.
Giải
Theo định lý côsin cho ∆ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 142 + 182 – 2.14.18. cos62° ≈ 283,4.
⇒ BC ≈ $\sqrt{283,4}$ ≈ 16,8.
Theo hệ quả của định lí côsin cho ∆ABC, ta có:
cosB = $\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}=\frac{14^2+16,8^2−18^2}{2.14.16,8}$ ≈ 0,328.
⇒ $\widehat{B}$ ≈ 71°, $\widehat{C}=180°-(\widehat{A}+\widehat{B})$ ≈ 180° - (62° + 71°) = 47°.
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:
$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$,
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a = 2RsinA; b = 2RsinB; c = 2RsinC;
sinA = $\frac{a}{2R}$; sinB = $\frac{b}{2R}$; sinC = $\frac{c}{2R}$.
Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.
Giải
Trong ∆MNP, ta có:
$\widehat{P}=180°-(\widehat{M}+\widehat{N})$ = 180° - (34° + 112°) = 34°.
$\widehat{M}=\widehat{P}$ = 34° nên ∆MNP cân tại N ⇒ Do đó MN = NP = 22.
Theo định lí sin, ta có: $\frac{MP}{sinN}=\frac{NP}{sinM}$
⇒ MP = $\frac{NP.sinN}{sinM}=\frac{22.sin112°}{sin34°}$ ≈ 36,5.
Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:
• a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.
• ha, hb, hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
• p là nửa chu vi tam giác.
• S là diện tích tam giác.
Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:
1) S = $\frac{1}{2}$aha = $\frac{1}{2}$bhb = $\frac{1}{2}$chc;
2) S = $\frac{1}{2}$ab sinC = $\frac{1}{2}$bc sinA = $\frac{1}{2}$ac sinB;
3) S = $\frac{abc}{4R}$;
4) S = pr;
5) S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron).
Cho tam giác ABC có b = 14, c = 35 và $\widehat{A}$ = 60°. Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải
• S = $\frac{1}{2}$bc sinA =$\frac{1}{2}$.14.35. sin 60° ≈ 212,2.
• Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA = 142 + 352 – 2.14.35.cos60° = 931
⇒ a = $\sqrt{931}$.
Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{a}{sinA}$ = 2R ⇒ R = $\frac{a}{2.sinA}=\frac{\sqrt{931}}{2.sin60°}$ ≈17,6.
Vậy diện tích ∆ABC gần bằng 212,2 (đơn vị diện tích), bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC gần bằng 17,6 (đơn vị độ dài).
Xem thêm các bài học khác :