1) Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.
a) f(x) = 2x2 + x – 1; b) g(x) = -x4 + 2x2 + 1; c) h(x) = -x2 + $\sqrt{2}$x – 3.
Giải
a) Biểu thức f(x) = 2x2 + x – 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 1 và c = -1.
Với x = 1 thì f(1) = 2.12 + 1 – 1 = 2 > 0 nên f(x) dương tại x = 1.
b) Biểu thức g(x) = -x4 + 2x2 + 1 không phải tam thức bậc hai vì nó là đa thức bậc 4.
c) Biểu thức h(x) = -x2 + $\sqrt{2}$x – 3 là tam thức bậc hai với a = -1, b = $\sqrt{2}$, c = -3.
Với x = 1 thì h(1) = -12 + $\sqrt{2}$.1 – 3 < 0 nên f(x) âm tại x = 1.
2) Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai g(x) = -x2 + 6x – 9.
Giải
g(x) = -x2 + 6x – 9 (với a = -1, b = 6, c = -9) có ∆ = b2 - 4ac = 62 – 4.(-1).(-9) = 0.
Do đó g(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.(-1)}$ = 3.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x.
• Nếu ∆ = 0 và x0 = $-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0.
• Nếu ∆ > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của f(x) (x1 < x2) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x1 ; x2) , f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞ ; x1), (x2 ; +∞).
(Ta có thể dùng ∆' thay cho ∆).
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) f(x) = 2x2 – 3x – 2; b) g(x) = -x2 + 2x – 3.
Giải
a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 (với a = 2, b = -3, c = -2) có:
∆ = (-3)2 – 4.2.(-2) = 25 > 0, hai nghiệm x1 = $\frac{-1}{2}$, x2 = 2 và a = 2 > 0.
Ta có bảng xét dấu như sau:
x
-∞
$\frac{-1}{2}$
2
+∞
f(x)
+
0
-
0
+
Vậy f(x) âm trong khoảng $\left(\frac{-1}{2};2\right)$ và dương trong hai khoảng $\left(-∞;\frac{-1}{2}\right)$ và (2 ; +∞).
b) g(x) = -x2 + 2x – 3 có ∆ = 22 – 4.(-1).(-3) = -8 < 0 và a = -1 < 0.
Vậy g(x) âm với mọi x ∈ ℝ.
Xem thêm các bài học khác :