Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Chương 7. Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Tam thức bậc hai

♦ Đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các hệ số, a ≠ 0 và xbiến số được gọi là tam thức bậc hai.

Khi x = x0, ta được ${\color{Blue}f(x_0)=a.x_0^2+b.x_0+c}$, gọi là giá trị của f(x) tại x0.

• Nếu f(x0) > 0 thì ta nói f(x) dương tại x0;

• Nếu f(x0) < 0 thì ta nói f(x) âm tại x0;

• Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng (hoặc một đoạn) thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng (hoặc đoạn) đó.

♦ Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Khi đó:

Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0nghiệm của f(x).

• Biểu thức ${\color{Blue}∆=b^2-4ac}$ và ${\color{Blue}∆'=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}$ lần lượt là biệt thứcbiệt thức thu gọn của f(x).

Ví dụ

1) Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a) f(x) = 2x2 + x – 1;   b) g(x) = -x4 + 2x2 + 1;   c) h(x) = -x2 + $\sqrt{2}$x – 3.

Giải

a) Biểu thức f(x) = 2x2 + x – 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 1 và c = -1.

Với x = 1 thì f(1) = 2.12 + 1 – 1 = 2 > 0 nên f(x) dương tại x = 1.

b) Biểu thức g(x) = -x4 + 2x2 + 1 không phải tam thức bậc hai vì nó là đa thức bậc 4.

c) Biểu thức h(x) = -x2 + $\sqrt{2}$x – 3 là tam thức bậc hai với a = -1, b = $\sqrt{2}$, c = -3.

Với x = 1 thì h(1) = -12 + $\sqrt{2}$.1 – 3 < 0 nên f(x) âm tại x = 1.

 

2) Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai g(x) = -x2 + 6x – 9.

Giải

g(x) = -x2 + 6x – 9 (với a = -1, b = 6, c = -9) có ∆ = b2 - 4ac = 62 – 4.(-1).(-9) = 0.

Do đó g(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.(-1)}$ = 3.

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x.

• Nếu ∆ = 0 và x0 = $-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0.

• Nếu ∆ > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của f(x) (x1 < x2) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x1 ; x2) , f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (-∞ ; x1), (x2 ; +∞).

(Ta có thể dùng ∆' thay cho ∆).

Ví dụ

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x2 – 3x – 2;    b) g(x) = -x2 + 2x – 3.

Giải

a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 (với a = 2, b = -3, c = -2) có:

∆ = (-3)2 – 4.2.(-2) = 25 > 0, hai nghiệm x1 = $\frac{-1}{2}$, x= 2 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x -∞     $\frac{-1}{2}$     2     +∞
f(x)   + 0 - 0 +  

Vậy f(x) âm trong khoảng $\left(\frac{-1}{2};2\right)$ và dương trong hai khoảng $\left(-∞;\frac{-1}{2}\right)$ và (2 ; +∞).

b) g(x) = -x2 + 2x – 3 có ∆ = 22 – 4.(-1).(-3) = -8 < 0 và a = -1 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi x ∈ ℝ.


Xem thêm các bài học khác :

Chương 7. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai
Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai
Ôn tập chương 7. Bất phương trình bậc hai một ẩn