Làm thế nào để diễn tả quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B?
1. Tập hợp
Ôn tập khái niệm tập hợp
Ví dụ:
1) Tập hợp các đồ dùng học tập: bút, thước, tập, sách. Ta có thể viết là A = { bút; thước; tập; sách }.
2) Tập hợp các số chẵn. Ta có thể viết là B = { x ∈ ℕ | x = 2n ; n ∈ ℕ }.
Ta dùng chữ cái in hoa (A, B, C, … ) để đặt tên cho tập hợp. Các phần tử của tập hợp viết trong dấu { } và phân cách nhau bằng dấu ; .
Có hai cách viết tập hợp:
Viết liệt kê các phần tử (tập hợp A ở ví dụ 1).
Viết chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử (tập hợp B ở ví dụ 2).
Biểu đồ Ven
Tập hợp được minh họa bằng một vòng kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên trong vòng, phần tử không thuộc tập hợp đó được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng.
Cách minh họa tập hợp như vậy gọi là biểu đồ Ven.
Trong Hình 1, ta có :Tập hợp A = {a; b; c}. d ∉ A.
Phần tử của tập hợp
Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, không có phần tử nào.
Tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (tập rỗng), kí hiệu là Ø.
Khi tập hợp C là tập hợp rỗng, ta viết C = Ø.
Ví dụ
Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:
G = { x ∈ Z | x2 - 2 = 0 } ; ℕ* = { 1; 2; 3; … }.
Giải
• Ta có: x2 - 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = $\sqrt{2}$ hoặc x = $-\sqrt{2}$.
Do đó, không tồn tại số nguyên x để x2 - 2 = 0. Vậy G có 0 phần tử.
• ℕ* là tập hợp các số tự nhiên khác 0 nên ℕ* có vô số phần tử.
2. Tập con và tập hợp bằng nhau
Tập con
♦ Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là tập con của B và viết là A ⊂ B. Ta còn đọc là A chứa trong B.
A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B )
Khi A ⊂ B, ta cũng viết B ⊃ A (đọc là B chứa A) (Hình 3).
Nếu A không phải là tập con của B, ta viết A ⊄ B.
Quy ước: Tập hợp rỗng Ø được coi là tập con của mọi tập hợp.
♦ Ta có các tính chất sau:
• A ⊂ A với mọi tập hợp A.
• Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C (Hình 4)
Tập hợp bằng nhau
Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.
A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Ví dụ
1) Cho hai tập hợp: A = { n ∈ ℕ | n chia hết cho 3}, B = { n ∈ ℕ | n chia hết cho 9}. Chứng tỏ rằng B ⊂ A.
2) Cho hai tập hợp: E = {n ∈ ℕ | n chia hết cho 3 và 4} và G = {n ∈ ℕ | n chia hết cho 12}. Chứng tỏ rằng E = G.
Giải
1) n ⋮ 9, ta đặt n = 9k với k ∈ ℕ.
Mà (9k) ⋮ 3 nên n ⋮ 3. Ta có n ∈ B ⇒ n ∈ A. Vậy B ⊂ A.
2) • n chia hết cho cả 3 và 4 nên n là bội chung của 3 và 4.
Ta có BCNN(3, 4) = 12 suy ra BC(3, 4) = B(12).
n ∈ B(12) nên n chia hết cho 12.
Ta có, n ∈ E ⇒ n ∈ G, nên E ⊂ G (1).
• Ngược lại, n chia hết cho 12 nên n ∈ B(12).
Mà B(12) = BC(3, 4) suy ra n chia hết cho cả 3 và 4.
Ta có, n ∈ G ⇒ n ∈ E, nên G ⊂ E (2).
Từ (1) và (2) suy ra E = G.
3. Giao của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B.
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B.
A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }.
Tập hợp A ∩ B được minh họa bởi phần gạch chéo trong Hình 5.
Ví dụ
Tìm giao của hai tập hợp sau:
A = { x ∈ ℕ | x là ước của 16}, B = { x ∈ ℕ | x là ước của 20}.
Giải
A = {1; 2; 4; 8; 16}, B = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Vậy A ∩ B = {1; 2; 4}.
Chú ý: A ∩ B = ƯC(16, 20).
4. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∪ B.
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B.
A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B }.
Tập hợp A ∪ B được minh họa bởi phần gạch chéo trong Hình 6.
Ví dụ
Cho hai tập hợp: A = {x ∈ ℝ | x ≤ 0}, B = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}. Tìm A ∩ B, A ∪ B.
Giải
• x ≤ 0 và x ≥ 0 suy ra x = 0. Vậy A ∩ B = { 0 }.
• x ≤ 0 hoặc x ≥ 0 suy ra x ∈ ℝ. Vậy A ∪ B = ℝ.
Chú ý: A ∩ B là một tập hợp nên khi viết các phần tử của tập hợp phải trong dấu { }. Cách viết A ∩ B = 0 là cách viết sai.
5. Phần bù. Hiệu của hai tập hợp
♦ Cho tập hợp A là tập con của tập hợp B. Tập hợp những phần tử thuộc B mà không thuộc tập hợp A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu CBA.
Tập hợp CBA được mô tả bằng phần gạch chéo trong Hình 7.
♦ Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A \ B.
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B.
A \ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }.
Tập hợp A \ B được minh họa bởi phần gạch chéo trong Hình 8.
Chú ý: Nếu B ⊂ A thì A \ B = CAB.
Ví dụ
Cho hai tập hợp: A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ ℝ | x2 - x - 6 = 0}. Tìm A \ B và B \ A.
Giải
Ta có, A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}.
Ta có, x2 - x - 6 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 3. Do đó B = {-2; 3}. Vậy:
• A \ B = {-1; 0; 1; 2}.
• B \ A = ∅.
6. Các tập hợp số
Các tập hợp số đã học
Ta đã biết ℕ, ℤ, ℚ, ℝ lần lượt là tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực.
Ta có quan hệ như sau: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ (Hình 9).
Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực
Cho a và b là hai số thực, với a < b.
Tập hợp
Tên gọi và kí hiệu
Biểu diễn trên trục số
(Phần không bị gạch chéo)
ℝ
Tập hợp số thực (-∞ ; +∞)
{x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}
Đoạn [a ; b]
{x ∈ ℝ | a < x < b}
Khoảng (a ; b)
{x ∈ ℝ | a < x < +∞}
Khoảng (a ; +∞)
{x ∈ ℝ | -∞ < x < b}
Khoảng (-∞ ; b)
{x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
Nửa khoảng [a ; b)
{x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
Nửa khoảng (a ; b]
{x ∈ ℝ | a ≤ x < +∞}
Nửa khoảng [a ; +∞)
{x ∈ ℝ | -∞ < x ≤ b}
Nửa khoảng (-∞ ; b]
Kí hiệu -∞ đọc là âm vô cực, +∞ đọc là dương vô cực; a và b được gọi là đầu mút của các đoạn, khoảng, nửa khoảng.
Ví dụ
Cho hai tập hợp A= {x ∈ ℝ | -3 ≤ x ≤ 1} và B = {x ∈ ℝ | x + 1 > 0}.
Hãy xác định các tập hợp: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, CℝB.
Giải
Tập hợp A là đoạn [-3 ; 1] và được biểu diễn ở phần tô màu đỏ trên trục số.
Ta có, x + 1 > 0 ⇔ x > -1, do đó tập hợp B là khoảng (-1 ; +∞) và được biểu diễn ở phần tô màu xanh trên trục số.
Quan sát trục số trên, ta có các kết quả như sau:
A ∩ B = (-1 ; 1] ; A ∪ B = [-3 ; +∞) ; A \ B = [-3 , -1] ; CℝB = (-∞ ; -1].
Chú ý: B ⊂ ℝ, nên CℝB = ℝ \ B.
×
Thông báo
Bạn cần tạo tài khoản học tập để lưu trữ kết quả làm bài. Nhấp vào "Đăng ký".
Nếu đã đăng ký, bạn cần đăng nhập. Nhấp vào "Đăng nhập".