Bài 1. Mệnh đề toán học

a) Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.

b) Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Giải

a) Hai ví dụ về mệnh đề toán học là:

• Tích của 2 và 3 là 6.

• Tổng số đo của bốn góc trong một tứ giác bằng 360°.

b) Mệnh đề đúng: "Tổng của 2 và 3 là 5".

Mệnh đề sai: "10 chia hết cho 3".

Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.

Giải

Các mệnh đề chứa biến:

• x + 2 = 0, với x là số thực.

• n > 0, với n là số nguyên tố.

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “5,15 là một số hữu tỉ”;

Q: “2 023 là số chẵn”.

Giải

$\overline{P}$ : “5,15 không phải là một số hữu tỉ” và $\overline{P}$ sai.

$\overline{Q}$ : “2 023 không phải là số chẵn” và $\overline{Q}$ đúng.

Chú ý: Để phủ định một mệnh đề (có dạng phát biểu như trên), ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q.

Giải

P: "hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba".

Q: "hai đường thẳng song song với nhau".

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q (định lí): "Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".

Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”, Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”, hãy phát biểu hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Giải

• Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”. Đây là mệnh đề đúng.

• Mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° thì tam giác ABC đều”. Đây là mệnh đề đúng.

Hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng. Ta có, mệnh đề tương đương P ⇔ Q: “Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60° ”.

Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3;

b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.

Giải

a) Phủ định của “Tồn tại số nguyên chia hết cho 3” là: “Mọi số nguyên không chia hết cho 3”. 

b) Phủ định của “Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số” là: “Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số”.