Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ
Hãy chỉ ra hai nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{matrix}3x+y-1≤0\\2x-y+2≥0.\end{matrix}\right.$
Giải
• Cặp số (0 ; 0) thỏa mãn 3.0 + 0 – 1 ≤ 0 và 2.0 – 0 + 2 ≥ 0 nên cặp số (0 ; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
• Cặp số (0; 1) thỏa mãn 3.0 + 1 – 1 ≤ 0 và 2.0 – 1 + 2 = 1 ≥ 0 nên cặp số (0 ; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:
• Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
• Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Ví dụ
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{matrix}x+y≤8\\2x+3y≤18\\x≥0\\y≥0.\end{matrix}\right.$
Giải
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ trên mặt phẳng Oxy. Miền không tô màu gồm miền bên trong tứ giác OABC và các cạnh của OABC (còn gọi là miền tứ giác OABC) trong Hình là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.
3. Tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là một miền đa giác.
Biểu thức F = ax + by có giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) tại một trong các đỉnh của đa giác.
Ví dụ
Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?
Giải
Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam loại A và loại B pha chế được với x ≥ 0 và y ≥ 0.
Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:
• Về lượng đường: 30x + 10y ≤ 210 ⇔ 3x + y ≤ 21.
• Về lượng nước: x + y ≤ 9.
• Về lượng bột cam: x + 4y ≤ 24.
Từ đó, ta có hệ bất phương trình (I):
$\left\{\begin{matrix}3x+y≤21\\x+y≤9\\x+4y≤24\\x≥0\\y≥0.\end{matrix}\right.$
Miền nghiệm của hệ (I) là miền ngũ giác OABCD (miền không tô màu) với các đỉnh: O(0 ; 0), A (0 ; 6), B(4 ; 5), C(6 ; 3), D (7; 0) (xem Hình).
Gọi F (nghìn đồng) là doanh thu, ta có: F = 60x + 80y (nghìn đồng).
Giá trị của F tại các đỉnh của ngũ giác OABCD như sau:
Tại O(0 ; 0) thì F = 60.0 + 80.0 = 0;
Tại A(0 ; 6) thì F = 60.0 + 80.6 = 480;
Tại B(4 ; 5) thì F = 60.4 + 80.5 = 640;
Tại C(6 ; 3) thì F = 60.6 + 80.3 = 600;
Tại D(7 ; 0) thì F = 60.7 + 80.0 = 420.
Ta thấy F đạt giá trị lớn nhất bằng 640 tại B(4 ; 5).
Vậy để có doanh thu cao nhất là 640 nghìn đồng thì người đó nên pha chế 4 lít nước cam loại A và 5 lít nước cam loại B.
Xem thêm các bài học khác :