Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1. Mặt phẳng trong không gian
Ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc để biểu diễn mặt phẳng và dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp trong dấu ngoặc để kí hiệu mặt phẳng.
Chú ý: Mặt phẳng (P) còn được viết là mp(P) hoặc (P).
Điểm thuộc mặt phẳng
Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) như Hình 3.
• Nếu điểm A thuộc (P) thì ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu A ∈ (P).
• Nếu điểm B không thuộc (P) thì ta nói B nằm ngoài (P) hay (P) không chứa B, hay (P) đi qua A và kí hiệu B ∉ (P).
Biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng
Để biểu diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng, …), ta thường dựa vào các quy tắc sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Giữ nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với đoạn thẳng.
- Giữ nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.
- Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị các mặt phẳng che khuất bằng nét vẽ đứt đoạn.
Ví dụ
• Quan sát Hình 4a, ta có:
Các điểm A’, B’, C’, D’ thuộc mặt phẳng (P).
Các điểm A, B, C, D không nằm trên mặt phẳng (P).
• Quan sát Hình 4b, ta có:
Các điểm A, D, C thuộc mặt phẳng (Q).
Điểm B không thuộc mặt phẳng (Q).
2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian
Tính chất 1
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tính chất 2
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng được kí hiệu là (ABC).
Tính chất 3
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú ý: Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là d ⊂ (P) hoặc (P) ⊃ d.
Tính chất 4
Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chú ý: Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Tính chất 5
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Đường thẳng d chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của (P) và (Q), kí hiệu d = (P) ∩ (Q).
Tính chất 6
Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
3. Cách xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng (P) được xác định nếu biết:
• (P) chứa ba điểm không thẳng hàng.
Mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C không thẳng hàng kí hiệu là mp(ABC) hay (ABC).
• (P) chứa một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
Mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng a không qua A kí hiệu là mp(A, a) hay (A, a) (Hình 23).
• (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a, b cắt nhau kí hiệu là mp(a, b) (Hình 26).
4. Hình chóp và hình tứ diện
Hình chóp
Cho đa giác lồi A1A2…An nằm trong (α) và điểm S không thuộc (α). Nối S với các đỉnh A1, A2, …, An ta được n tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A1A2…An được gọi là hình chóp, kí hiệu S.A1A2…An.
Trong hình chóp S.A1A2…An n ta gọi:
- Điểm S là đỉnh;
- Các tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 là các mặt bên;
- Đa giác A1A2…An là mặt đáy;
- Các đoạn thẳng SA1, SA2, …, SAn là các cạnh bên;
- Các cạnh của đa giác A1A2…An là các cạnh đáy.
Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, …
Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB và BCD được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu ABCD.
Trong tứ diện ABCD (Hình 35), ta gọi:
- Các điểm A, B, C, D là các đỉnh.
- Các đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, CD, BD là các cạnh của tứ diện.
- Hai cạnh không đi qua cùng một đỉnh là hai cạnh đối diện.
- Các tam giác ABC, ACD, ADB, BCD là các mặt của tứ diện.
- Đỉnh không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chú ý:
a) Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
b) Một tứ diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tùy ý của tứ diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
Xem thêm các bài học khác :